ルジャンドルのカイ関数

数学において、ルジャンドルのカイ関数(Legendre chi function)とは、テイラー展開が以下により与えられた、ディリクレ級数でもある特殊関数である。

${\chi }_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1{)}^{\nu }}.$

上の式は多重対数関数のディリクレ級数と似ている。事実、以下のような多重対数関数を用いた表現が可能である。

${\chi }_{\nu }(z)=\frac{1}{2}[{\mathrm{Li}}_{\nu }(z)-{\mathrm{Li}}_{\nu }(-z)].$

フルヴィッツのゼータ関数$\zeta (s,q)$の変数sでの離散フーリエ変換は、ルジャンドルのカイ関数である。

ルジャンドルカイ関数は、テンプレート:仮リンクの特殊なケースである。そのため、次の式でも与えられる。

${\chi }_{\nu }(z)=2^{-\nu }z\mathrm{\Phi }(z^2,\nu ,1/2).$

恒等式

${\chi }_2(x)+{\chi }_2(1/x)=\frac{{\pi }^2}{4}-\frac{i\pi }{2}|\ln x|(x>0).$

$\frac{d}{dx}{\chi }_2(x)=\frac{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}x}{x}.$

関係する積分

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arcsin (r\sin \theta )d\theta ={\chi }_2\left(r\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (r\sin \theta )d\theta =-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{r\theta \cos \theta }{1+r^2{\sin }^2\theta }d\theta =2{\chi }_2\left(\frac{\sqrt{1+r^2}-1}{r}\right)$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\arctan (p\sin \theta )\arctan (q\sin \theta )d\theta =\pi {\chi }_2(\frac{\sqrt{1+p^2}-1}{p}\cdot \frac{\sqrt{1+q^2}-1}{q})$

$\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\frac{dxdy}{1-x^2{y}^2}={\chi }_2(\alpha \beta )\mathrm{i}\mathrm{f}|\alpha \beta |\le 1$

参考文献

• テンプレート:Mathworld
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
• テンプレート:Note labelテンプレート:Cite web
• Mathematics Stack Exchange