ルベーグの分解定理のソースを表示

[[数学]]の[[測度論]]の分野における '''ルベーグの分解定理'''（ルベーグのぶんかいていり、{{Lang-en-short|Lebesgue's decomposition theorem}}）<ref>{{harv|Halmos|1974|loc=Section&nbsp;32, Theorem&nbsp;C}}</ref><ref>{{harv|Hewitt|Stromberg|1965|loc=Chapter&nbsp;V, §&nbsp;19, (19.42) Lebesque Decomposition Theorem}}</ref><ref>{{harv|Rudin|1974|loc=Section&nbsp;6.9, The Theorem of Lebesgue-Radon-Nikodym}}</ref>とは、ある[[可測空間]] <math>(\Omega,\Sigma)</math> 上のすべての二つの{{仮リンク|σ-有限測度|label=σ-有限|en|σ-finite measure}}な[[符号付測度]] <math>\mu</math> および <math>\nu</math> に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 <math>\nu_0</math> および <math>\nu_1</math> が存在することを述べた定理である。

* <math>\nu=\nu_0+\nu_1\, </math>
* <math>\nu_0\ll\mu</math>（すなわち、<math>\nu_0</math> は <math>\mu</math> に関して[[絶対連続]]）
* <math>\nu_1\perp\mu</math>（すなわち、<math>\nu_1</math> と <math>\mu</math> は[[特異測度|特異的]]）

これら二つの測度は、<math>\mu</math> および <math>\nu</math> によって一意的に定められる。

== 改良 ==
ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、[[実数直線]]上のある正則な[[ボレル測度]]の[[特異測度|特異部]]の分解は、次のように改良できる<ref>{{harv|Hewitt|Stromberg|1965|loc=Chapter&nbsp;V, §&nbsp;19, (19.61) Theorem}}</ref>。
:<math>\, \nu = \nu_{\mathrm{cont}} + \nu_{\mathrm{sing}} + \nu_{\mathrm{pp}}</math> 
但し
* ''&nu;''<sub>cont</sub> は'''絶対連続'''（absolutely continuous）な部分
* ''&nu;''<sub>sing</sub> は'''特異連続'''（singular continuous）な部分
* ''&nu;''<sub>pp</sub> は'''純点'''（pure point）の部分（[[離散測度]]）

つづいて、絶対連続測度は[[ラドン＝ニコディムの定理]]によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。[[カントール分布|カントール測度]]（[[実数直線]]上の[[確率測度]]で[[累積分布関数]]が[[カントール関数]]であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

== 関連する概念 ==
=== レヴィ＝伊藤分解 ===
{{main|レヴィ＝伊藤分解}}

[[確率過程]]に対する同様な分解に、次のような[[レヴィ＝伊藤分解]]がある。ある{{仮リンク|レヴィ過程|en|Lévy process}} ''X'' が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 <math>X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}</math> に分解される。
* <math>X^{(1)}</math> はドリフトを伴う[[ブラウン運動]]で、絶対連続な部分に対応する；
* <math>X^{(2)}</math> は{{仮リンク|複合ポアソン過程|en|compound Poisson process}}で、純点の部分に対応する；
* <math>X^{(3)}</math> は[[自乗可積分函数|自乗可積分]]な pure-jump [[マルチンゲール]]で、有限区間において[[ほとんど (数学)#ほとんど確実に|ほとんど確実に]]可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。

== 関連項目 ==
* [[スペクトル分解 (関数解析学)|スペクトル分解]]
* [[ハーンの分解定理]]および対応するジョルダンの分解定理

== 引用 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Citation
 | last = Halmos
 | first = Paul R.
 | author-link = :en:Paul Halmos
 | title = Measure Theory
 | place = New York, Heidelberg, Berlin
 | publisher = Springer-Verlag
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume = 18
 | origyear = 1950
 | year = 1974
 | isbn = 978-0-387-90088-9
 | mr = 0033869
 | zbl = 0283.28001}}
* {{Citation
 | last = Hewitt
 | first = Edwin
 | author-link = :en:Edwin Hewitt
 | last2 = Stromberg
 | first2 = Karl
 | title = Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable
 | place = Berlin, Heidelberg, New York
 | publisher = Springer-Verlag
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume = 25
 | year = 1965
 | isbn = 978-0-387-90138-1
 | mr = 0188387
 | zbl = 0137.03202}}
* {{Citation
 | last = Rudin
 | first = Walter
 | author-link = ウォルター・ルーディン
 | title = Real and Complex Analysis
 | place = New York, Düsseldorf, Johannesburg
 | publisher = McGraw-Hill Book Comp.
 | series = McGraw-Hill Series in Higher Mathematics
 | edition = 2nd
 | year = 1974
 | isbn = 0-07-054233-3
 | mr = 0344043
 | zbl = 0278.26001}}
 
{{PlanetMath attribution|id=34003|title=Lebesgue decomposition theorem}}

{{DEFAULTSORT:るへえくのふんかいていり}}
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[[Category:測度論]]
[[Category:アンリ・ルベーグ]]
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