ルベーグの分解定理

数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある可測空間 $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ 上のすべての二つのテンプレート:仮リンクな符号付測度 $\mu$ および $\nu$ に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 ${\nu }_0$ および ${\nu }_1$ が存在することを述べた定理である。

• $\nu ={\nu }_0+{\nu }_1$
• ${\nu }_0\ll \mu$（すなわち、${\nu }_0$ は $\mu$ に関して絶対連続）
• ${\nu }_1\perp \mu$（すなわち、${\nu }_1$ と $\mu$ は特異的）

これら二つの測度は、$\mu$ および $\nu$ によって一意的に定められる。

改良

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる。

$\nu ={\nu }_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}}+{\nu }_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}+{\nu }_{\mathrm{p}\mathrm{p}}$

但し

• ν_cont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
• ν_sing は特異連続（singular continuous）な部分
• ν_pp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

関連する概念

レヴィ＝伊藤分解

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。あるテンプレート:仮リンク X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 $X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}$ に分解される。

• $X^{(1)}$ はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
• $X^{(2)}$ はテンプレート:仮リンクで、純点の部分に対応する；
• $X^{(3)}$ は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。

関連項目

• スペクトル分解
• ハーンの分解定理および対応するジョルダンの分解定理

参考文献

• テンプレート:Citation
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