ラドン＝ニコディムの定理

数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:Math 上のある テンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar が別の テンプレート:Math 上の σ-有限測度 テンプレート:Mvar に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 テンプレート:Math に対して次を満たす可測函数 テンプレート:Math が存在することを述べた定理である：

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

この函数 テンプレート:Math はラドン＝ニコディム微分と呼ばれ、テンプレート:Math と表記される。

この定理の名は、1913年に空間 テンプレート:Math での特別な場合について証明を与えたヨハン・ラドンと、1930年に一般の場合の証明を与えたテンプレート:仮リンクに由来する。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した。

テンプレート:Mvar がバナッハ空間であり、ラドン＝ニコディムの定理が テンプレート:Mvar に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、テンプレート:Mvar はラドン＝ニコディム性を備えると言われる。全てのヒルベルト空間はラドン＝ニコディム性を備えている。

ラドン＝ニコディム微分

上述の等式を満たす函数 テンプレート:Math は、 テンプレート:Mvar-零集合の違いを除いて一意である。すなわち、同じ性質を満たす別の函数 テンプレート:Mvar が存在するなら、テンプレート:Mvar に関してほとんど至るところで テンプレート:Math2 が成り立つ。テンプレート:Math は通常 テンプレート:Math と表記され、ラドン＝ニコディム微分と呼ばれる。この表記と呼称は、この函数がある測度の別の測度に関する密度の変化率を表しているという意味で微分積分学における微分の類似物となっていることに由来する。同様の定理は、符号付複素測度に対しても証明することができる。すなわち、テンプレート:Mvar が非負の σ-有限測度で、テンプレート:Mvar が有限値の符号付あるいは複素測度で テンプレート:Math を満たす（テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に関して絶対連続である）なら、テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-可積分な実あるいは複素数値函数 テンプレート:Mvar が存在して、すべての可測集合 テンプレート:Mvar に対して次を満たす。

$\nu (A)=\underset{A}{\int }gd\mu .$

応用

この定理は確率論におけるアイデアを、実数上で定義される確率質量および確率密度から、任意の集合上で定義される確率測度へと拡張する上で非常に重要となる。このことは、ある確率測度を別のものへ変化させることが可能か、また可能であればどのようにできるか、という事実を示唆している。特に、ある確率変数の確率密度関数は、ある基底測度（通常は連続型確率変数に対するルベーグ測度）に関する誘導測度 (induced measure) のラドン＝ニコディム微分となる。それは例えば、確率測度の条件付期待値の存在を示す際に利用することができるが、これ自体が確率論における重要概念であり、条件付き確率はその特殊例に過ぎない。

その他の分野では、数理ファイナンスにおいてこの定理は広く用いられている。確率測度の変化はデリバティブの合理価格設定 (rational pricing) を行う上での基本であり、実際の確率をリスク中立確率に転換する上で用いられる。

性質

Bermudez et al. (2025) は、以下の性質の証明を形式化しています。

• テンプレート:Math および テンプレート:Mvar を同一の測度空間上の テンプレート:Mvar-有限測度とする。テンプレート:Math および テンプレート:Math（テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に関して絶対連続）であるなら、次が成り立つ。

$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-almost everywhere}.$

• テンプレート:Math であるなら、次が成り立つ。

$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-almost everywhere}.$

• 特に、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math であるなら、次が成り立つ。

$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}\nu \text{-almost everywhere}.$

• テンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-可積分函数であるなら、次が成り立つ。

$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{X}{\int }g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$

• テンプレート:Mvar が有限の符号付測度あるいは複素測度であるなら、次が成り立つ。

$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$

さらなる応用

情報ダイバージェンス

テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上の測度で、テンプレート:Math が成り立つものとする。

• テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へのカルバック・ライブラー情報量は、次で定義される。

$D_{\mathrm{K}\mathrm{L}}(\mu \Vert \nu )=\underset{X}{\int }\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)d\mu .$

• テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への位数 テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクは、次で定義される。

$D_{\alpha }(\mu \Vert \nu )=\frac{1}{\alpha -1}\log \left(\underset{X}{\int }{\left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)}^{\alpha -1}d\mu \right).$

テンプレート:Mvar-有限性の仮定

ラドン＝ニコディムの定理では、テンプレート:Mvar の変化の割合を計算するための測度 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-有限であると仮定されていた。ここでは、その テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-有限でないときにはラドン＝ニコディムの定理が成立しないことを示す。

実数直線上のボレル完全加法族を考える。あるボレル集合 テンプレート:Mvar の数え上げ測度 テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar が有限である場合はその元の数、そうでない場合は テンプレート:Math で定義する。実際に テンプレート:Mvar が測度であることは確かめることが出来る。しかし、すべてのボレル集合が有限集合の可算個の合併であるとは限らないので、それは テンプレート:Mvar-有限ではない。テンプレート:Mvar をこのボレル加法族上の通常のルベーグ測度とする。このとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に関して絶対連続である。なぜなら、ある集合 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるのは テンプレート:Mvar が空集合であるときのみであり、そのときは テンプレート:Math もゼロとなるからである。

ラドン＝ニコディムの定理が成立するものと仮定する。すなわち、ある可測函数 テンプレート:Math に対して

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu$

がすべてのボレル集合について成立するものとする。テンプレート:Mvar を単集合 テンプレート:Math} とし、上述の等式を使うことで

$0=f(a)$

がすべての実数 テンプレート:Mvar に対して成り立つ。このことは函数 テンプレート:Math およびルベーグ測度 テンプレート:Mvar がゼロであることを意味し、矛盾である。

証明

この節では、ラドン＝ニコディムの定理の測度論的な証明を紹介する。ヒルベルト空間の手法を使った函数解析的な証明も、ジョン・フォン・ノイマンによって与えられている。

証明のアイデアは、有限測度 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を満たす函数 テンプレート:Math を考えることである。単調収束定理の下で、そのようなすべての函数の上限はラドン＝ニコディム微分を与える。有限測度に関する技術的な事実より、テンプレート:Mvar の残りの部分は テンプレート:Mvar に関して特異的であることが従う。そのような結果が有限測度に対して得られれば、テンプレート:Mvar-有限測度や符号付測度、複素測度に対しても自然な形で拡張される。詳細は下記の通りである。

有限測度の場合

はじめに テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar のいずれも有限値の非負測度である場合を考える。テンプレート:Mvar を、次の関係式を満たすようなそれらの可測函数 テンプレート:Math の集合とする：

$\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }:\underset{A}{\int }fd\mu \le \nu (A).$

少なくともゼロ函数を含むため テンプレート:Math である。今 テンプレート:Math とし、テンプレート:Mvar を任意の可測集合とし、次を定義する：

$\begin{array}{cc}{A}_1& =\{x\in A:f_1(x)>f_2(x)\},\\ A_2& =\{x\in A:f_2(x)\ge f_1(x)\},\end{array}$

このとき、

$\underset{A}{\int }\max \{f_1,f_2\}d\mu =\underset{A_1}{\int }{f}_{1}d\mu +\underset{A_2}{\int }{f}_{2}d\mu \le \nu (A_1)+\nu (A_2)=\nu (A)$

が成り立ち、したがって テンプレート:Math となる。

今 テンプレート:Math を、次を満たす テンプレート:Mvar 内の函数列とする。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu .$

テンプレート:Math をはじめの テンプレート:Mvar 個の函数の最大で置き直すことで、テンプレート:Math は増加列であると仮定することが出来る。テンプレート:Mvar を次で定義される函数とする。

$g(x):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x).$

ルベーグの単調収束定理より、各 テンプレート:Math に対して

$\underset{A}{\int }gd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu \le \nu (A)$

が成り立ち、したがって テンプレート:Math となる。また、テンプレート:Mvar の構成法より

$\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu$

となる。テンプレート:Math であるため、

${\nu }_0(A):=\nu (A)-\underset{A}{\int }gd\mu$

は テンプレート:Math 上の非負測度を定義する。テンプレート:Math を仮定する。このとき、テンプレート:Mvar は有限であるため、テンプレート:Math を満たすようなある テンプレート:Math が存在する。(P, N) を符号付測度 テンプレート:Math に対するハーン分解とする。すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であり、したがって

$\begin{array}{cc}\nu (A)& =\underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A)\\ & \ge \underset{A}{\int }gd\mu +{\nu }_0(A\cap P)\\ & \ge \underset{A}{\int }gd\mu +\epsilon \mu (A\cap P)\\ & =\underset{A}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu \end{array}$

が成立することに注意されたい。また テンプレート:Math であることに注意されたい。実際、もし テンプレート:Math であるなら、（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に関して絶対連続であるため）テンプレート:Math であり、したがって テンプレート:Math および

${\nu }_0(X)-\epsilon \mu (X)=({\nu }_0-\epsilon \mu )(N)\le 0,$

が成り立つが、これは テンプレート:Math に矛盾する。

したがって

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu \le \nu (X)<+\mathrm{\infty }$

が成り立つことから、テンプレート:Math となり、

$\underset{X}{\int }(g+\epsilon 1_P)d\mu >\underset{X}{\int }gd\mu =\underset{f\in F}{\sup }\underset{X}{\int }fd\mu$

が満たされる。しかしこれは矛盾であるため、元の仮定 テンプレート:Math が偽ということになる。したがって、目標としていた テンプレート:Math が得られる。

今 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-可積分であるため、集合 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-零である。したがって、テンプレート:Math を

$f(x)=\{\begin{array}{cc}g(x)& \text{if }g(x)<\mathrm{\infty }\\ 0& \text{otherwise,}\end{array}$

のように定めれば、テンプレート:Math は目標としていた性質を満たすものとなる。

一意性を示すために、テンプレート:Math を、すべての可測集合 テンプレート:Mvar に対して次を満たす二つの函数とする。

$\nu (A)=\underset{A}{\int }fd\mu =\underset{A}{\int }gd\mu .$

このとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar-可積分であり、

$\underset{A}{\int }(g-f)d\mu =0$

となる。特に、テンプレート:Math} あるいは テンプレート:Math} に対して、次が成り立つ。

$\underset{X}{\int }(g-f{)}^{+}d\mu =0=\underset{X}{\int }(g-f{)}^{-}d\mu .$

したがって テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に関して至る所で成り立つ。同様のことが テンプレート:Math に対しても成り立つため、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar に関して至る所で成り立ち、一意性は示される。

テンプレート:Mvar-有限正測度の場合

テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-有限であるなら、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar の下で有限測度を持つような テンプレート:Math 内の素集合の列 テンプレート:Math の合併として記述することが出来る。各 テンプレート:Mvar に対し、次を満たすような テンプレート:Math-可測函数 テンプレート:Math が存在する：

$\nu (A)=\underset{A}{\int }{f}_{n}d\mu .$

ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Math-可測部分集合である。それらの函数の合併 テンプレート:Math が、求める函数となる。

一意性について、各 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に関してほとんど至る所で一意であるため、テンプレート:Math もそのようになる。

符号付測度および複素測度の場合

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-有限の符号付測度であるなら、ハーン＝ジョルダン分解により、いずれかが有限であるような テンプレート:Math に分解することが出来る。それら二つの測度に対して前述の結果を適用することで、それぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math に対してラドン＝ニコディムの定理を満たすような二つの函数 テンプレート:Math を得ることが出来る。またそれらの内少なくとも一つは テンプレート:Mvar-可積分（すなわち、テンプレート:Mvar に関する積分が有限）となる。 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar のいずれも テンプレート:Mvar に関するほとんど至る所での恒等性を除いて一意であるため、テンプレート:Math が一意性を含む求められる性質を満たしていることは明らかである。

テンプレート:Mvar が複素測度であるなら、有限値の符号付測度 テンプレート:Math および テンプレート:Math によって テンプレート:Math という分解を得ることが出来る。上述の議論を適用することで、それぞれ テンプレート:Math および テンプレート:Math に対して求められる性質を満たす二つの函数 テンプレート:Math を得ることが出来る。明らかに、テンプレート:Math が求める函数である。

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• テンプレート:Citation