フロイデンタールのスペクトル定理

数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理（フロイデンタールのスペクトルていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質（principal projection property; 主射影性質）を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。

数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン＝ニコディムの定理やポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。

定理の主張

テンプレート:Mvar はリース空間 テンプレート:Mvar に属する任意の正元とする。テンプレート:Mvar の正元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の成分 (component) であるとは、テンプレート:Math が成立することを言う。テンプレート:Math が互いに素な テンプレート:Mvar の成分であるとき、テンプレート:Math の任意の実線型結合を テンプレート:Mvar-単関数と呼ぶ。

定理 (Freudenthal)

単項射影性質を持つリース空間 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の任意の正元 テンプレート:Mvar について、テンプレート:Mvar の生成する主イデアル内の任意の元 テンプレート:Mvar に対して、適当な テンプレート:Mvar-単関数列 テンプレート:Math および テンプレート:Math が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar-一様に収束する。

ラドン＝ニコディムの定理との関係

$(X,\mathrm{\Sigma })$ を測度空間とし、$M_{\sigma }$ を $(X,\mathrm{\Sigma })$ 上の符号付 $\sigma$-加法的測度の実空間とする。$M_{\sigma }$ はテンプレート:仮リンクを備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 $\mu$ に対し、上述のように定義される $\mu$-単関数は、$(X,\mathrm{\Sigma })$ 上の $\mu$-可測単関数と（通常の意味で）ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、$\mu$ によって生成される帯（band）内の任意の測度 $\nu$ は $(X,\mathrm{\Sigma })$ 上の $\mu$-可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、$\nu$ はある $L^1(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 関数に対応し、$\mu$ によって生成される帯とバナッハ束 $L^1(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ の間の等長束同型を構成することが示される。

関連項目

• ラドン＝ニコディムの定理

参考文献

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