ルベーグの被覆補題のソースを表示

[[トポロジー]]における'''ルベーグの被覆補題'''（{{lang-en-short|Lebesgue covering lemma}}）あるいは'''ルベーグ数の補題'''（{{lang-en-short|Lebesgue's number lemma}}）は[[アンリ・ルベーグ]]に因む[[コンパクト]]{{要曖昧さ回避|date=2022年11月}}[[距離空間]]の研究における有用な補題であって、次のことを主張する：
: 距離空間 <math>(X, d)</math> がコンパクトであり、<math>X</math> の[[開被覆]]が与えられたなら、ある数 <math>\delta > 0</math> が存在して、<math>\delta</math> 未満の[[直径]]を持つ <math>X</math> のどんな部分集合もその被覆のある元に含まれる。<ref>このことは半径 <math>\delta</math> の開球たちがその被覆の[[細分]]になっているということと同値である。したがってこの補題は「コンパクト距離空間の開被覆は[[一様被覆]]である」と言い換えることができる。この形で述べられた補題は[[一様空間]]へ一般化することが可能である。</ref>
そのような数 <math>\delta</math> はその被覆のルベーグ数と呼ばれる。ルベーグ数の概念そのものも他の応用へ有用である。

== 証明 ==
<math>\mathcal{U}</math> を <math>X</math> の開被覆とする。<math>X</math> はコンパクトだから有限部分被覆 <math>\{ A_1, \ldots, A_n \} \subseteq \mathcal{U}</math> を抜き取ることができる。

各 <math>i \in \{ 1,\ldots, n \}</math> に対して、<math>C_i := X \setminus A_i </math> とおいて、関数 <math>f:X \to \mathbb{R}</math> を <math>f(x) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d(x,C_i)</math> で定める。

<math>f</math> はコンパクト集合上で連続だから、最小値 <math>\delta</math> を取る。鍵となる観察は <math>\delta > 0</math> である。もし <math>Y</math> が <math>\delta</math> 未満の直径を持つ <math>X</math> の部分集合なら、ある <math>x_0 \in X</math> に対して <math>Y \subseteq B_{\delta}(x_0)</math> となる。ここで <math>B_{\delta}(x_0)</math> は半径 <math>\delta</math> 中心 <math>x_0</math> の球を表す（よって <math>x_0</math> は <math>Y</math> の任意の点としてよい）。<math>f(x_0)\geq \delta</math> であるから、少なくともひとつ <math>i</math> が存在して <math>d(x_0, C_i) \geq \delta</math> が成り立つ。ところがこのことは <math>B_{\delta}(x_0) \subseteq A_i</math> を意味し、したがってとくに <math>Y \subseteq A_i</math> である。

== 別証明 ==
<math>\mathcal{U}</math> を <math>X</math> の開被覆とする。どんな <math>\delta > 0 </math> に対しても <math>V_{\delta} = \{ x \in X | \exists U_x \in \mathcal{U}, \forall x' \in X, d(x, x') \leq \delta \Rightarrow x' \in U_x \}</math> は開集合である。なぜなら、各 <math>x\in V_{\delta}</math> に対して、<math>X\setminus U_x</math> と <math>x</math> の周りのコンパクト <math>\delta</math>-球の間には正の距離 <math>\varepsilon</math> があるから、開 <math>\varepsilon </math>-球もまた <math>V_{\delta}</math> に含まれる。

族 <math>\{ V_{\delta} | \delta > 0 \}</math> もまた <math>X</math> の開被覆である。<math>X</math> はコンパクトだから、<math>X</math> は有限個の <math>V_{\delta}</math> の和に既に含まれている。また <math>\delta < \delta'</math> に対して <math>V_{\delta}\supseteq V_{\delta'}</math> となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある <math>\delta > 0 </math> に対して <math>X = V_{\delta}</math> が成り立つ。この <math>\delta</math> はルベーグ数である。

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Citation|last=Munkres|first=James R.|title=Topology: A first course|year=1974|isbn=978-0-13-925495-6|page=179}}

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