ルベーグの被覆補題

トポロジーにおけるルベーグの被覆補題（テンプレート:Lang-en-short）あるいはルベーグ数の補題（テンプレート:Lang-en-short）はアンリ・ルベーグに因むコンパクトテンプレート:要曖昧さ回避距離空間の研究における有用な補題であって、次のことを主張する：

距離空間 $(X,d)$ がコンパクトであり、$X$ の開被覆が与えられたなら、ある数 $\delta >0$ が存在して、$\delta$ 未満の直径を持つ $X$ のどんな部分集合もその被覆のある元に含まれる。

そのような数 $\delta$ はその被覆のルベーグ数と呼ばれる。ルベーグ数の概念そのものも他の応用へ有用である。

証明

$𝒰$ を $X$ の開被覆とする。$X$ はコンパクトだから有限部分被覆 $\{A_1,\dots ,A_n\}\subseteq 𝒰$ を抜き取ることができる。

各 $i\in \{1,\dots ,n\}$ に対して、$C_i:=X\setminus A_i$ とおいて、関数 $f:X\to ℝ$ を $f(x):=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_i)$ で定める。

$f$ はコンパクト集合上で連続だから、最小値 $\delta$ を取る。鍵となる観察は $\delta >0$ である。もし $Y$ が $\delta$ 未満の直径を持つ $X$ の部分集合なら、ある $x_0\in X$ に対して $Y\subseteq B_{\delta }(x_0)$ となる。ここで $B_{\delta }(x_0)$ は半径 $\delta$ 中心 $x_0$ の球を表す（よって $x_0$ は $Y$ の任意の点としてよい）。$f(x_0)\ge \delta$ であるから、少なくともひとつ $i$ が存在して $d(x_0,C_i)\ge \delta$ が成り立つ。ところがこのことは $B_{\delta }(x_0)\subseteq A_i$ を意味し、したがってとくに $Y\subseteq A_i$ である。

別証明

$𝒰$ を $X$ の開被覆とする。どんな $\delta >0$ に対しても $V_{\delta }=\{x\in X|\mathrm{\exists }{U}_x\in 𝒰,\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in X,d(x,x^{\prime })\le \delta \Rightarrow x^{\prime }\in U_x\}$ は開集合である。なぜなら、各 $x\in V_{\delta }$ に対して、$X\setminus U_x$ と $x$ の周りのコンパクト $\delta$-球の間には正の距離 $\epsilon$ があるから、開 $\epsilon$-球もまた $V_{\delta }$ に含まれる。

族 $\{V_{\delta }|\delta >0\}$ もまた $X$ の開被覆である。$X$ はコンパクトだから、$X$ は有限個の $V_{\delta }$ の和に既に含まれている。また $\delta <{\delta }^{\prime }$ に対して $V_{\delta }\supseteq V_{{\delta }^{\prime }}$ となるから、それら有限個は全て、その中のひとつに含まれている。よってある $\delta >0$ に対して $X=V_{\delta }$ が成り立つ。この $\delta$ はルベーグ数である。

参考文献

• テンプレート:Citation