ルベーグ外測度のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年8月}}
[[数学]]における'''ルベーグ外測度'''（ルベーグがいそくど、{{lang-en-short|''Lebesgue exterior measure''}}, ''Lebesgue outer measure''）は、 {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の各[[部分集合]]に対しそれが占める'''体積'''に相当する非負[[拡大実数]]を対応付ける[[集合函数]]である。

現代的な[[ルベーグ測度]]の構成は、この外測度の概念を通じて与えられる。

== 性質 ==
* 区間 <math>I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n]\quad (a_i\leq b_i)</math> に対し <math display="block">\mu^*(I)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\dotsb(b_n-a_n).</math>
* 特に <math display="inline">\mu^*(\emptyset)=0.</math>
* 劣加法性: <math>\mu^*\Big(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\Bigr)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E_j).</math>
* 特に単調性: <math display="inline">A\subseteq B\implies \mu^*(A)\leq \mu^*(B).</math>
* 平行移動不変性: <math display="inline">A_\lambda :=\{x+\lambda \mid x\in A\}</math> と置けば <math display="block">\mu^*(A)=\mu^*(A_\lambda).</math>
* [[線型変換]] {{math|''T'': '''R'''{{sup|''n''}} → '''R'''{{sup|''n''}}}} に対し <math display="inline">TA := \{Tx \mid x\in A\}</math> と書けば <math display="block">\mu^*(TA)=|T|\mu^*(A)</math> が成り立つ。ただし {{math|{{abs|''T''}}}} は変換の[[行列式]]である。

== 定義 ==
'''基本集合''' <math display="inline">I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\dotsb\times [a_n,b_n]\quad (a_i\leq b_i)</math> に対し、その体積を <math display="inline">\operatorname{vol}(I) := (b_1-a_1)(b_2-a_2)\dotsb(b_n-a_n)</math> と定義する。

全体集合 {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} を区間の可算列によって被覆できる（なんとなれば <math>\mathbb{R}^n \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}[-j,j]^n</math> が成立することをみればよい）から、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の任意の部分集合 {{mvar|E}} が上記の基本集合の可算[[合併 (集合論)|合併]]で被覆できることは明らかな事実である。そこで {{mvar|E}} のルベーグ外測度を <math display="block">\mu^*(E):= \inf\Big\{\sum_{j=1}^{\infty}\hbox{vol}(I_j): \bigcup I_j \supseteq E \Bigr\}</math> と定義する。ただし下限 inf は {{mvar|E}} を被覆する任意の基本集合列 {{mvar|I{{sub|j}}}} にわたってとるものとする。

これにより外測度 <math>\mu^*\colon 2^{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}^{+} \cup \{ \infty \}=[0,\infty]</math> が定まる。

== 零集合 ==
{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の部分集合 {{mvar|E}} がルベーグ測度零またはルベーグ[[零集合]]であるとは、そのルベーグ外測度の値が零となるときに言う。これはルベーグの測度論においては、外測度零の任意の集合が可測でありかつその任意の部分集合が測度零であるという形で生じる。

== 関連項目 ==
* [[測度]]
* [[外測度]]

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=Lebesgue+measure#definition}}
* {{PlanetMath|urlname=LebesgueOuterMeasure|title=Lebesgue outer measure}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Lebesgue_Measure|title=Definition:Lebesgue Measure}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:るへえくかいそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:アンリ・ルベーグ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]