ルベーグ測度のソースを表示

[[数学]]における'''ルベーグ測度'''（ルベーグそくど、{{lang-en-short|''Lebesgue measure''}}）は、[[ユークリッド空間]]上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者[[アンリ・ルベーグ]]にちなむ。体積には「[[素集合|互いに素]]な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（[[加法的集合函数|加法性]]）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。[[実解析]]、特に[[ルベーグ積分]]で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として {{math|∞}} をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを[[選択公理]]によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合は'''ルベーグ可測'''であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 {{mvar|A}} の[[測度]]を {{math|''λ''(''A'')}} で表す。

== 例 ==
* 閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} の一次元ルベーグ測度は {{math|''b'' &minus; ''a''}} である。開区間 {{open-open|''a'', ''b''}} の一次元ルベーグ測度も閉区間との差集合（つまり両端点のみからなる二元から成る集合 {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}}）の測度が {{math|0}} であることから、同じく {{math|''b'' &minus; ''a''}} である。
* 二次元の集合 {{mvar|A}} が、一次元区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} と {{closed-closed|''c'', ''d''}} の [[直積集合]]（つまり辺が軸に平行な[[長方形]]）であれば、{{mvar|A}} の二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 {{math|(''b'' &minus; ''a'')(''d'' &minus; ''c'')}} に等しい。
* 可算集合のルベーグ測度は必ず {{math|0}} である。[[カントール集合]]は、測度 {{math|0}} の非[[可算]]集合の例である。

== 性質 ==
{{mvar|n}}-次元ユークリッド空間 {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の {{mvar|n}}-次元ルベーグ測度 {{mvar|λ{{exp|n}}}} あるいは簡単に {{mvar|λ}} は次のような性質を持つ。
# {{mvar|A}} を一次元区間の直積： {{math|''I''{{sub|1}} &times; ''I''{{sub|2}} &times; ⋯ &times; ''I{{sub|n}}''}} とする。このとき {{mvar|A}} はルベーグ可測で {{math|1= ''λ''(''A'') = {{abs|''I''{{sub|1}}}}&sdot;{{abs|''I''{{sub|2}}}}⋯{{abs|''I{{sub|n}}''}}}} である。ただしここで、{{math|{{abs|''J''}}}} は区間 {{mvar|J}} の長さを意味している。
# {{mvar|A}} を[[素集合|どの二つも互いに素]]な高々[[可算]]個のルベーグ可測集合の[[合併 (集合論)|合併]]とするとき、{{mvar|A}} はルベーグ可測で {{math|''λ''(''A'')}} は、各集合の測度の和に等しい。
# {{mvar|A}} がルベーグ可測ならば、{{mvar|A}} の[[補集合]]も可測である。
# 任意のルベーグ可測集合 {{mvar|A}} について {{math|''λ''(''A'') &ge; 0}} である。
# ルベーグ可測集合 {{mvar|A, B}} について、{{math|''A'' ⊆ ''B'' ⇒ ''λ''(''A'') &le; ''λ''(''B'')}} である。
# 可算個のルベーグ可測集合の和集合や[[共通部分]]は、ルベーグ可測である。
# {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}}  の[[開集合]]や[[閉集合]]はルベーグ可測である。
# {{math|1=''λ''(''A'') = 0}} となるルベーグ可測集合 {{mvar|A}} (これを[[零集合]]という) について、{{mvar|A}} の部分集合はすべて零集合である。
# {{mvar|A}} をルベーグ可測集合、{{mvar|x}} を {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[元 (数学)|元]]とする。{{mvar|x}} による {{mvar|A}} の[[平行移動]]を {{math|''A'' + ''x'' {{coloneqq}} {{mset|''a'' + ''x'' | ''a'' &isin; ''A''}}}} と定義するとき、{{math|''A'' + ''x''}} はルベーグ可測で {{mvar|A}} と測度が同じである。

== ルベーグ測度の構成 ==
ルベーグ測度の現代的な構成は[[カラテオドリの拡張定理]]を用いた以下のものである。

いま自然数 {{mvar|n}} を固定する。{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 内の（{{mvar|n}}-次元）'''区間'''あるいは超矩形 {{lang|en|(''box'')}} とは、（一次元）区間の直積
:<math>B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]</math>
の形（但し、{{math|''b{{sub|i}}'' &ge; ''a{{sub|i}}''}} であるものとする）で書かれた {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の部分集合の総称である。この区間 ''B'' の容積 {{math|vol(''B'')}} は
:<math>\operatorname{vol}(B) := \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)</math>
で与えられる。{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[可算集合|（高々）可算個]]の区間からなる区間[[族 (数学)|族]]を総称して、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の'''区間塊'''という。

{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の任意の部分集合 {{mvar|A}} に対して、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の区間塊を{{mathbf|B}} とするとき、{{mvar|A}} の[[ルベーグ外測度]] {{math|''λ*''(''A'')}} を

:<math>\lambda^*(A) := \inf_{\mathbf{B}}\Big\{\sum_{B\in \mathbf{B}}\operatorname{vol}(B)\Bigr\}</math> 

で定める。ただしここでの下限は、集合 {{mvar|A}} を[[集合の被覆|被覆]]する区間塊 {{mathbf|B}} の選び方すべてに亘ってとるものとする（そのような被覆が存在しない場合の下限は {{math|∞}} と決めておく）。

さらに、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の部分集合 {{mvar|A}} が'''ルベーグ可測'''であるとは、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の任意の部分集合 {{mvar|S}} に対して、[[カラテオドリの条件]]：
:<math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S - A)</math>
を満たすこととする。

ルベーグ可測な集合全体は[[完全加法族]]を為す。そうしてルベーグ可測集合 {{mvar|A}} に対するルベーグ測度 {{mvar|λ}} を {{math|''λ''(''A'') {{coloneqq}} ''λ*''(''A'')}} で定義する。

[[ヴィタリ集合|ヴィタリの定理]]によれば、実数全体 {{mathbf|R}} の部分集合でルベーグ可測ではないものが存在する。

さらに一般に、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の任意の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。

== 他の測度との関係 ==
*[[ボレル測度]]が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
*局所コンパクト群で定義される[[ハール測度]]はルベーグ測度の一般化である。
*[[ハウスドルフ測度]](参考:[[ハウスドルフ次元]])は、{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} 上の''n''次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。

== その他 ==
ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、[[選択公理]]の結果である[[バナッハ＝タルスキーのパラドックス]]が挙げられる。

== 歴史 ==
アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「{{ill2|Comptes rendus de l'Académie des sciences|label=コント・ランデュ|en|Comptes rendus de l'Académie des sciences}}」に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」<ref>{{cite paper|author=Henri Lebesgue|title= Intégrale, longueur, aire|date=1902|publisher= Université de Paris|ref=harv}}; 日本語訳: {{Cite book|和書|author=ルベーグ|others=[[吉田耕作]]・[[松原稔]]訳・解説|year=1969|title=積分・長さおよび面積|publisher=共立出版|isbn=4-320-01156-2|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/series/keifu.html#3}}</ref>の一部として発表された。

==参考文献==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

== 関連項目 ==
*[[測度]]
*[[ルベーグ積分]]
*[[ルベーグの密度定理]]
*[[完全加法族]]
*[[外測度]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=LebesgueMeasure|title=Lebesgue Measure}}
* {{PlanetMath|urlname=LebesgueMeasure|title=Lebesgue measure}}
* {{SpringerEOM|urlname=Lebesgue_measure|title=Lebesgue measure|author=Sazonov, V.V.}}
* {{nlab|urlname=Lebesgue+measure|title=Lebesgue measure}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Lebesgue_Measure|title=Definition:Lebesgue Measure}}

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[[Category:測度論]]
[[Category:アンリ・ルベーグ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]