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'''ルーシェの定理''' ('''{{lang-fr-short|Théorème de Rouché}}'''、'''{{lang-en-short|Rouché's theorem}}''')は、フランスの数学者である{{lang|fr|[[:fr:Eugène Rouché|Eugène Rouché]]}} (1832年-1920年) が1862年に発表した[[複素解析]]における定理であり、[[留数#留数定理|留数定理]]および[[偏角の原理]]と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、[[代数学の基本定理]]の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

== 定理 ==
<math>D\ </math> を[[複素数#複素数平面|複素平面（ガウス平面）]]のある[[単連結]]な[[開集合]]（領域）、<math>\partial D</math> をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に[[:en:Well-behaved|良い性質を持つ]]ものとする）、<math>K\ </math> を <math>D\ </math> の[[閉包 (位相空間論)|閉包]] （= <math>D + \partial D\ </math>） とし、<math>f(z)\ </math> および <math>g(z)\ </math> を<math>K\ </math> 上で定数でない[[正則関数|正則]]な複素関数で、<math>\partial D\ </math>上で、<math>|f(z)| > |g(z)| \ </math> を満たすとすれば、 <math>D\ </math> 内での <math>f(z)+g(z)\ </math> と <math>f(z)\ </math> の[[零点]]の個数 （ただし位数''n''の零点は''n''個として数える）は一致する。

=== 証明 ===
<math>\partial D</math> 上では、<math>|f(z)| > |g(z)|</math> という条件から、<math>|f(z)| > 0</math> であり、
: <math>\log (f(z)+g(z)) = \log f(z) + \log (1 + g(z)/f(z))</math>
と書くことができる。
<math>f(z)</math> および <math>g(z)</math> は <math>D</math> で極を持たないので[[偏角の原理]] から <math>f(z)+g(z)</math> の <math>D</math> 内における零点の個数を''n''とすれば、

:<math>\begin{align}
  n &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d \log (f(z)+g(z))}{dz} dz \\
  &=  \frac{1}{2\pi i}\left[\oint_{\partial D} \frac{d \log f(z)}{dz}dz +  \oint_{\partial D} \frac{d \log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz \right]
\end{align}</math>
である。

ここで <math>\omega \colon K \to \mathbb{C}</math> を、<math>\omega(z) = 1 + g(z)/f(z)</math> で定義する。前述のように<math>\partial D</math> 上では <math>|f(z)| > 0</math> であり、<math>f(z)</math> および <math>g(z)</math> は <math>K</math> 上で正則であるから、<math>\omega(z)</math> は <math>\partial D</math> 上で正則である。従って <math>\omega(z)</math> による <math>\partial D</math> の像を <math>C</math> とすれば、 <math>C</math> も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、
: <math> \oint_{\partial D} \frac{d\log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz
= \oint_{\partial D} \frac{d\log \omega}{d\omega}\frac{d\omega}{dz}dz
= \oint_C \frac{d\log \omega}{d\omega}d\omega </math>
である。結局この式の値は <math>\log \omega</math> を <math>C</math> 上のある点を始点として <math>C</math> に沿って一周した場合の増分になるが、<math>\partial D</math> 上では <math>|f(z)| > |g(z)|</math> という条件から <math>C</math> 上では <math>\operatorname{Re} \omega</math> は正であり、 <math>C</math> は <math>\log \omega</math> の[[分岐点 (数学)|分岐点]]である <math>\omega = 0</math> を一周しないので、その値は 0 である。従って、
: <math> n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz} dz
=  \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log f(z)}{dz}dz </math>
が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

== 応用例 ==
=== 代数学の基本定理の証明 ===
:<math>f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0</math>
を最高次数の係数が 1 の任意の ''n'' 次複素数係数多項式とした場合、<math>f(z)\ </math> が複素平面上で ''n'' 個の零点を持つことを証明する。

<math>R\ </math> を正の[[実数]]とし、<math>D = \{z \mid |z| < R \}\ </math> と置く。また、
:<math>g(z) = a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\ </math>
:<math>h(z) = z^n\ </math>
と置く。<math>R\ </math> を十分大きく取れば <math>\partial D\ </math> 上で <math>|h(z)| >  |g(z)|\ </math> が成立するので、 <math>D\ </math> 内における <math>h(z)\ </math> と <math>h(z)+g(z)\ </math>  (= <math>f(z)\ </math> ) の零点の個数は一致し、 <math>h(z)\ </math> の形から明らかなように、その値は ''n'' となる。

==関連項目==
* [[リーマンの写像定理]]

== 参考文献 ==
* 遠木幸成・阪井章　『関数論』　学術図書出版社、1966年、82-83頁。
* 松田哲　『複素関数』　岩波書店、1996年、110-111頁。

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