ループのアイソトピーのソースを表示

{{翻訳直後|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Isotopy_of_loops&oldid=1047144960  07:50, 29 September 2021]|date=2023年4月22日 (土) 10:13 (UTC)}}
[[数学]]の[[抽象代数学]]分野において、'''アイソトピー'''（'''イソトピー'''とも、{{lang-en|isotopy}}) とは、[[準群#ループ|ループ]]の代数的概念を分類するために使われる[[同値関係]]である。

ループおよび準群のアイソトピーは、{{仮リンク|アブラハム・A・アルバート|en|A. A. Albert}}によって1943年に導入された<ref group="原文">未訳：based on his slightly earlier definition of [[isotopy of an algebra|isotopy for algebras]], which was in turn inspired by work of Steenrod.</ref>。

== 準群のアイソトピー ==
任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

<math>(Q,\cdot)</math> と <math>(P,\circ)</math> を[[準群]]とする。 ''Q'' から ''P'' への'''準群ホモトピー'''（{{lang-en-short|quasigroup homotopy}}）とは、 ''Q'' から ''P'' への写像の三つ組み {{nowrap|(''α'', ''β'', ''γ'')}} であって、以下の条件を満たす者である。
:<math>\alpha(x)\circ\beta(y) = \gamma(x\cdot y)\, \quad \forall x, y \in Q</math>
'''準群の準同型'''（{{lang-en-short|quasigroup homomorphism}}）とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

'''アイソトピー''' ('''イソトピー'''とも、{{lang-en|isotopy}}) は、ホモトピーの特殊なケースであって、3つの写像 {{nowrap|(''α'', ''β'', ''γ'')}} が[[全単射]]である。二つの準群が'''アイソトピック'''（'''イソトピック'''とも、{{lang-en-short|isotopic}}）とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。[[ラテン方格]]の言葉で言い換えると、アイソトピー {{nowrap|(''α'', ''β'', ''γ'')}} は、行の置換 ''α''、列の置換 ''β''、 そして ''γ'' は、表内の ''P'' の要素集合の置換に相当する。

'''オートトピー'''（{{lang-en-short|autotopy}}）は、 <math>(Q,\cdot)</math> からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、{{訳語疑問点範囲|{{ill2|自己同型群|en|automorphism group}}を部分群とする群を成す|date=2023-04-17|title=自己同型群そのものになるわけではないと言っている？要確認}}<ref group="原文"> The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the [[automorphism group]] as a subgroup.</ref>。 

'''主アイソトピー'''（{{lang-en-short|principal isotopy}}）とは、アイソトピーで特に、''γ'' が ''Q'' 上の恒等写像であること。この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る<ref group="原文">原文：In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.</ref>。

== ループのアイソトピー ==
<math>(L,\cdot)</math> と <math>(K,\circ)</math> をループとし、<math>(\alpha,\beta,\gamma):L \to K</math> をアイソトピーとする。この時、（そのアイソトピーは）主アイソトピー <math>(L,\cdot)</math> と <math>(L,*)</math> の <math>(\alpha_0,\beta_0,id)</math> と、[[同型写像]] <math>(L,*)</math> と <math>(K,\circ)</math> 間の <math>\gamma</math> を使って、それらの{{訳語疑問点範囲|合成|date=2023-04-17|title=原文では product だが、文脈的には (写像に対しては) 積ではなく合成と呼ぶ方が一般的と思う}}になっている<ref>Then it is the product of the principal isotopy <math>(\alpha_0,\beta_0,id)</math> from <math>(L,\cdot)</math> and <math>(L,*)</math> and the isomorphism <math>\gamma</math> between <math>(L,*)</math> and <math>(K,\circ)</math>. </ref>。{{要検証範囲|実際、<math>\alpha_0=\gamma^{-1} \alpha</math>, <math>\beta_0=\gamma^{-1} \beta</math> とおいて、演算を <math> * </math> by <math>x*y=\alpha^{-1}\gamma(x)\cdot \beta^{-1}\gamma(y)</math> で定義する|date=2023-04-17|title=数式の内容・証明未確認}}。

<math>(L,\cdot)</math> と <math>(L,\circ)</math> をループとし、''e'' を [[単位元]] of <math>(L,\cdot)</math> とする。さらに <math>(\alpha,\beta,id)</math> を <math>(L,\cdot)</math> to <math>(L,\circ)</math> への主アイソトピーとする。この時 {{要検証範囲|<math>\alpha=R_b^{-1}</math> および <math>\beta=L_a^{-1}</math> ここで <math>a=\alpha(e)</math> and <math>b=\beta(e)</math>.|date=2023-04-17|title=数式の内容・証明など未確認}}

ループ ''L'' が '''G-loop''' であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される<ref group="原文">原文：A loop ''L'' is a '''G-loop''' if it is isomorphic to all its loop isotopes.</ref>。

== ループの疑似自己同型 ==
''L'' をループ、''c'' を ''L'' の元とする。 ''L'' の全単射 ''α'' は任意の ''x'', ''y'' に対して、下記の恒等式を満たす時、{{訳語疑問点範囲|''c'' を'''コンパニオン要素'''とする'''右疑似同型'''（{{lang-en-short|right pseudo-automorphism of ''L'' with companion element ''c''}}）|date=2023-04-17|title=companion element の訳語が不明}}と呼ばれる。
: <math>\alpha(xy)c=\alpha(x)(\alpha(y)c)</math>
同様に、'''左疑似同型'''（{{lang-en-short|left pseudo-automorphism}}）も定義される。

== ユニバーサル性 ==
ループについてのある性質 ''P'' が'''ユニバーサル'''（'''普遍的'''、{{lang-en-short|universal}}）であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ ''L'' においてある性質 ''P'' が成り立つか否かと、''L'' のイソトープなループでも同様に性質 ''P'' が成り立つか否かが一致していることである。{{要検証範囲|明らかに、''L'' の主アイソトープについて ''P'' が成り立つかどうかをチェックすれば十分である|date=2023-04-21|title=証明未確認}}。

{{要検証範囲|例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、[[交換法則|可換性]]はユニバーサル'''ではない'''。しかし、別の例として、[[結合法則|結合性]]はユニバーサルである。[[アーベル群]]であるという性質もユニバーサルな性質である|date=2023-04-17|title=証明などは未確認}}。実際、任意の群は、G-loopである{{要検証|date=2023-04-22|title=証明などは未確認}}。

== アイソトピーの幾何学的実行 ==
与えられたループ ''L'' に対して、'''3-net''' と呼ばれる{{ill2|入社幾何|en|incidence geometry}}学的構造を定義することができる。逆に、原点と直線クラスの{{訳語疑問点範囲|順序|date=2023-04-18|title=原文は order. 順序なのか、それとも位数的なものか。上記の英語版記事を確認または翻訳する必要}}を固定すると、3-net はループを発生させる。別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある <ref group="原文">原文：Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.</ref>。しかしながら、{{訳語疑問点範囲|座標ループ|date=2023-04-18|title=the coordinate loops}}は常にアイソトピックである。言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る<ref group="原文">原文：In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from ''geometric point of view''.</ref>。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

* ループのオートトピーの成す群は、3-net の{{ill2|共線変換|en|collineation}}を保存する{{訳語疑問点範囲|群の方向|date=2023-04-18|title=the group direction}}に対応<ref group="原文">原文：The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.</ref>。
* 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
* コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応<ref group="原文">原文：The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.</ref>。
* ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
* 性質 ''P'' がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない<ref group="原文">原文：The property ''P'' is universal if and only if it is independent on the choice of the origin</ref>。

== 関連項目 ==
* [[Isotopy of an algebra]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 原文 ===
{{Reflist|group="原文"}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{citation|mr=0009962 
|last=Albert|first= A. A.
|title=Quasigroups. I. 
|journal=Trans. Amer. Math. Soc. |volume=54|year=1943|pages= 507–519|doi=10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7|doi-access=free}} 
*{{citation|MR=0158000 
|last=Kurosh|first= A. G.
|title=Lectures on general algebra
|publisher= Chelsea Publishing Co.|place= New York|year= 1963 }}

{{DEFAULTSORT:るうふのあいそとひ}}
[[Category:分配多元環]]
[[Category:非結合代数]]
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]