ループのアイソトピー

テンプレート:翻訳直後 数学の抽象代数学分野において、アイソトピー（イソトピーとも、テンプレート:Lang-en) とは、ループの代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、テンプレート:仮リンクによって1943年に導入された。

準群のアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

$(Q,\cdot )$ と $(P,\circ )$ を準群とする。 Q から P への準群ホモトピー（テンプレート:Lang-en-short）とは、 Q から P への写像の三つ組み テンプレート:Nowrap であって、以下の条件を満たす者である。

$\alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\mathrm{\forall }x,y\in Q$

準群の準同型（テンプレート:Lang-en-short）とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (イソトピーとも、テンプレート:Lang-en) は、ホモトピーの特殊なケースであって、3つの写像 テンプレート:Nowrap が全単射である。二つの準群がアイソトピック（イソトピックとも、テンプレート:Lang-en-short）とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格の言葉で言い換えると、アイソトピー テンプレート:Nowrap は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー（テンプレート:Lang-en-short）は、 $(Q,\cdot )$ からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、テンプレート:訳語疑問点範囲。

主アイソトピー（テンプレート:Lang-en-short）とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る。

ループのアイソトピー

$(L,\cdot )$ と $(K,\circ )$ をループとし、$(\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K$ をアイソトピーとする。この時、（そのアイソトピーは）主アイソトピー $(L,\cdot )$ と $(L,*)$ の $({\alpha }_0,{\beta }_0,id)$ と、同型写像 $(L,*)$ と $(K,\circ )$ 間の $\gamma$ を使って、それらのテンプレート:訳語疑問点範囲になっている。テンプレート:要検証範囲。

$(L,\cdot )$ と $(L,\circ )$ をループとし、e を 単位元 of $(L,\cdot )$ とする。さらに $(\alpha ,\beta ,id)$ を $(L,\cdot )$ to $(L,\circ )$ への主アイソトピーとする。この時 テンプレート:要検証範囲

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される。

ループの疑似自己同型

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たす時、テンプレート:訳語疑問点範囲と呼ばれる。

$\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)$

同様に、左疑似同型（テンプレート:Lang-en-short）も定義される。

ユニバーサル性

ループについてのある性質 P がユニバーサル（普遍的、テンプレート:Lang-en-short）であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。テンプレート:要検証範囲。

テンプレート:要検証範囲。実際、任意の群は、G-loopであるテンプレート:要検証。

アイソトピーの幾何学的実行

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれるテンプレート:Ill2学的構造を定義することができる。逆に、原点と直線クラスのテンプレート:訳語疑問点範囲を固定すると、3-net はループを発生させる。別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある 。しかしながら、テンプレート:訳語疑問点範囲は常にアイソトピックである。言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

• ループのオートトピーの成す群は、3-net のテンプレート:Ill2を保存するテンプレート:訳語疑問点範囲に対応。
• 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
• コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応。
• ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
• 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない。

関連項目

• Isotopy of an algebra

参考文献

• テンプレート:Citation
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