ラテン方格

ラテン方格（ラテンほうかく、テンプレート:Lang-en-short）とは $n$ 行 $n$ 列の表に $n$ 個の異なる記号を、各記号が各行および各列に1回だけ現れるように並べたものである。ラテン方陣（ラテンほうじん）ともいう。例を示す：

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b & d & c \\ b & c & a & d \\ c & d & b & a \\ d & a & c & b \end{matrix}]

ラテン方格は数学的には準群の積表と見ることができる。

ラテン方格は実験計画法に応用される。またペンシルパズルの一種「数独」や「賢くなるパズル」もラテン方格の応用である。

ラテン方格の名はオイラーによるもので、記号としてラテン文字（ローマ字）を用いたことによる。

ラテン方格は、第1行および第1列が自然な順序で並んでいる場合に標準形という。例えば上記1番のラテン方格は第1行と第1列がいずれも1,2,3であるから標準形である。どんなラテン方格も行、または列を交換することで標準形にできる。

記号には自然な順序がある（ない場合は適当に決めればよい）から、一般には1から始まる連続した数字（自然数）で書くのが便利である。

2次元のラテン方格をn次元に拡張した物をラテン超方格（Latin hypercube）という。これに基づく実験計画法をラテン超方格法（Latin Hypercube Sampling; LHS）という。

直交配列表現

$n \times n$ ラテン方格の各マスを3つ組 $(r, c, s)$ （ただし $r$ は行、 $c$ は列、 $s$ は記号）で表現すると、 $n^{2}$ 組の3つ組が得られ、これを直交配列表現テンプレート:Lang-en-short と呼ぶ。例えば上の1番目のラテン方格の直交配列表現は

{(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2)}

となる。ラテン方格は直交配列を用いて次のように定義できる：

$(r, c, s)$ （ただし $1 ≦ r, c, s ≦ n$ ）の形の $n^{2}$ 組の3文字組があり、
すべての $(r, c)$ 、 $(r, s)$ 、 $(c, s)$ の形の対がそれぞれすべて異なる。

この表現法から、行、列、および記号は似た役割を持つことがわかる。