ループ代数のソースを表示

[[数学]]において，'''ループ代数''' (ループだいすう、{{lang-en|loop algebra)}} とは，ある種の[[リー環]]であり，特に[[理論物理学]]において興味を持たれる．

==定義==
{{math|'''g'''}} を[[複素数|複素]][[リー環]]とし，{{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} を[[円周]][[多様体]] {{math|''S''{{sup|1}}}} 上の[[滑らかな関数|滑らかな]]（複素）関数の[[結合代数|代数]]とする．このとき，{{mathbf|g}} と {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} の[[テンソル積]]
:<math>\mathfrak{g}\otimes C^\infty(S^1)</math>
は，[[ベクトル場のリーブラケット|リーブラケット]]が
:<math>[g_1\otimes f_1,g_2 \otimes f_2]=[g_1,g_2]\otimes f_1 f_2</math>
で与えられる無限次元リー環である．ここで {{math|''g''<sub>1</sub>}} と {{math|''g''<sub>2</sub>}} は {{math|'''g'''}} の元で，{{math|''f''<sub>1</sub>}} と {{math|''f''<sub>2</sub>}} は {{math|''C''<sup>∞</sup>(''S''<sup>1</sup>)}} の元である．

これは {{math|''S''<sup>1</sup>}} の各点に {{mathbf|g}} を乗せた {{mathbf|g}} の無限個のコピーの[[直積]]に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく，{{math|''S''<sup>1</sup>}} から {{math|'''g'''}} への[[滑らかな関数]]，言い換えると，{{mathbf|g}} 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．

なお，部分代数
:<math>\mathfrak{g}\otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]</math>
もループ代数と呼ばれる<ref>Kac (1990)</ref>．

==ループ群==
同様に，{{math|''S''<sup>1</sup>}} から[[リー群]] {{math|''G''}} へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし（その上の[[汎関数微分]]を定義できるという意味でリー群である），'''{{仮リンク|ループ群|en|loop group}}'''と呼ばれる．ループ群のリー環は対応するループ代数である．

==フーリエ変換==
このループ代数上の[[フーリエ変換]]を，<math>g\otimes t^n</math> を <math>g\otimes e^{-in\sigma}</math> と定義することで取ることができる．ただし {{math|0 &le; ''&sigma;'' < 2''&pi;''}} は {{math|''S''<sup>1</sup>}} の座標である．

==応用==
{{math|'''g'''}} が[[半単純リー環]]ならば，そのループ代数の非自明な[[中心拡大]]は[[アフィンリー環]]を生じる．

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation|first=Jurgen|last= Fuchs|title=Affine Lie Algebras and Quantum Groups|year=1992|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-48412-X}}

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[[Category:リー環論]]
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