ループ代数

数学において，ループ代数 (ループだいすう、テンプレート:Lang-en とは，ある種のリー環であり，特に理論物理学において興味を持たれる．

定義

𝔤 \otimes C^{\infty} (S^{1})

[g_{1} \otimes f_{1}, g_{2} \otimes f_{2}] = [g_{1}, g_{2}] \otimes f_{1} f_{2}

これはテンプレート:Math の各点にテンプレート:Mathbf を乗せたテンプレート:Mathbf の無限個のコピーの直積に対応するものではない，なぜならば滑らかさの制約があるからである．そうではなく，テンプレート:Math からテンプレート:Math への滑らかな関数，言い換えると，テンプレート:Mathbf 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる．これがループ代数の名前の由来である．

なお，部分代数

𝔤 \otimes ℂ [t, t^{- 1}]

もループ代数と呼ばれる^[1]．

同様に，テンプレート:Math からリー群テンプレート:Math へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし（その上の汎関数微分を定義できるという意味でリー群である），テンプレート:仮リンクと呼ばれる．ループ群のリー環は対応するループ代数である．

このループ代数上のフーリエ変換を， $g \otimes t^{n}$ を $g \otimes e^{- i n σ}$ と定義することで取ることができる．ただしテンプレート:Math はテンプレート:Math の座標である．