レイノルズの輸送定理のソースを表示

'''レイノルズの輸送定理'''（レイノルズのゆそうていり）は、主に[[連続体力学]]で用いられる定理で、変形形状<math>\kappa_t</math>上の積分で表される物理量<math>\theta</math>の[[物質時間導関数]]（物質時間微分）について成立する次の式のことである：
:<math>
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_t} \theta(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d}v
= 
\int_{\kappa_t} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} + \theta\, \mathrm{div} \boldsymbol{v} \right) \mathrm{d}v
</math>

== 概要 ==
物質点に付随する物理量<math>\theta</math>の変形形状<math>\kappa_t</math>における総量は、以下に示す体積積分で求められる：
:<math>\int_{\kappa_t} \theta(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d}v
</math>
ここで、<math>\theta(\boldsymbol{x},t)</math>は、時刻<math>t</math>における注目する物質点<math>x</math>の物質量である。<math>\theta</math>は、[[スカラー (物理学)|スカラー]]値、[[ベクトル]]値、[[テンソル]]値のどれであっても以後の議論は成立する。

今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、[[物質時間導関数]]（物質時間微分）<math>\mathrm{D}/\mathrm{D}t</math>を用いて次のように表される：
:<math>
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_t} \theta(\boldsymbol{x}, t)\mathrm{d}v
</math>

上の式では被積分関数である<math>\theta(x,t)</math>に加えて、積分領域<math>\kappa_t</math>も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度<math>v</math>を用いて<math>\kappa_t</math>の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。

== 導出 ==
基準形状(変形なし形状)<math>\kappa_0</math>における座標<math>\boldsymbol{X}</math>と写像<math>\chi</math>によって、変形形状における座標<math>\boldsymbol{x}</math>を表す。
:<math>
\boldsymbol{x} = \chi (\boldsymbol{X}, t)
</math>

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状<math>\kappa_t</math>から基準形状(変形なし形状)<math>\kappa_0</math>に、積分変数を<math>\textrm{d}v</math>から<math>\textrm{d}V</math>に変換する。

:<math>
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_t} \theta(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d}v = 
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_0} \theta\left(\chi (\boldsymbol{X}, t), t \right) J \mathrm{d}V
</math>
ここで、基準形状(変形なし形状)&kappa;<sub>0</sub> における微小体積d''V'' と、変形形状&kappa;<sub>''t''</sub> における微小体積d''v'' には[[体積変化率]]''J'' を用いて次の関係が成り立つことを利用した。
:<math>\mathrm{d}v =  J \mathrm{d}V</math>

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)&kappa;<sub>0</sub> は時間に無関係な一定の領域となるので、[[体積変化率]]''J'' が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。
:<math>
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_0} \theta\left(\chi (\boldsymbol{X}, t), t \right) J \mathrm{d}V
= \int_{\kappa_0} \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\Bigl( \theta\left(\chi (\boldsymbol{X}, t), t \right) J \Bigr)\mathrm{d}V
= \int_{\kappa_0} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} J + \theta \frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t} \right)  \mathrm{d}V
</math>
この式は
:<math>\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t} = J \,\mathrm{div} \boldsymbol{v}</math>
であることを利用すると、次のように整理される：
:<math>
  \int_{\kappa_0} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} J + \theta \frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t}  \right)  \mathrm{d}V
= \int_{\kappa_0} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} J + \theta J \mathrm{div} \boldsymbol{v} \right)  \mathrm{d}V
= \int_{\kappa_0} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t}   + \theta\,\mathrm{div} \boldsymbol{v} \right) J \mathrm{d}V
</math>

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)&kappa;<sub>0</sub> から変形形状&kappa;<sub>''t''</sub> に、積分変数をd''V'' からd''v'' に変換する。
:<math>
  \int_{\kappa_0} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} + \theta\,\mathrm{div} \boldsymbol{v} \right) J \mathrm{d}V
= \int_{\kappa_t} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} + \theta\,\mathrm{div} \boldsymbol{v} \right) \mathrm{d}v
</math>
結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。
:<math>
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{\kappa_t} \theta(\boldsymbol{x}, t) \mathrm{d}v
= \int_{\kappa_t} \left(  \frac{\mathrm{D}\theta}{\mathrm{D}t} + \theta\,\mathrm{div} \boldsymbol{v} \right) \mathrm{d}v
</math>

== 例 ==
[[連続の方程式]]は、物理量として[[密度]]&rho;を輸送定理に代入して導かれる。{{main|連続の方程式#輸送定理による導出}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=京谷孝史|authorlink=京谷孝史|year=2008|month=12|title=よくわかる連続体力学ノート|publisher=森北出版|isbn=978-4-627-94811-2|}}

{{デフォルトソート:れいのるすのゆそうていり}}
[[Category:応用力学]]
[[Category:連続体力学]]
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:物理学のエポニム]]