レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理（レイノルズのゆそうていり）は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状${\kappa }_t$上の積分で表される物理量$\theta$の物質時間導関数（物質時間微分）について成立する次の式のことである：

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_t}{\int }\theta (𝒙,t)\mathrm{d}v=\underset{{\kappa }_t}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}+\theta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)\mathrm{d}v$

概要

物質点に付随する物理量$\theta$の変形形状${\kappa }_t$における総量は、以下に示す体積積分で求められる：

$\underset{{\kappa }_t}{\int }\theta (𝒙,t)\mathrm{d}v$

ここで、$\theta (𝒙,t)$は、時刻$t$における注目する物質点$x$の物質量である。$\theta$は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。

今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分）$\mathrm{D}/\mathrm{D}t$を用いて次のように表される：

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_t}{\int }\theta (𝒙,t)\mathrm{d}v$

上の式では被積分関数である$\theta (x,t)$に加えて、積分領域${\kappa }_t$も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度$v$を用いて${\kappa }_t$の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。

導出

基準形状(変形なし形状)${\kappa }_0$における座標$𝑿$と写像$\chi$によって、変形形状における座標$𝒙$を表す。

$𝒙=\chi (𝑿,t)$

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状${\kappa }_t$から基準形状(変形なし形状)${\kappa }_0$に、積分変数を$\text{d}v$から$\text{d}V$に変換する。

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_t}{\int }\theta (𝒙,t)\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_0}{\int }\theta (\chi (𝑿,t),t)J\mathrm{d}V$

ここで、基準形状(変形なし形状)κ₀ における微小体積dV と、変形形状κ_t における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。

$\mathrm{d}v=J\mathrm{d}V$

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ₀ は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_0}{\int }\theta (\chi (𝑿,t),t)J\mathrm{d}V=\underset{{\kappa }_0}{\int }\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\left(\theta (\chi (𝑿,t),t)J\right)\mathrm{d}V=\underset{{\kappa }_0}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}J+\theta \frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t})\mathrm{d}V$

この式は

$\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t}=J\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗$

であることを利用すると、次のように整理される：

$\underset{{\kappa }_0}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}J+\theta \frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{D}t})\mathrm{d}V=\underset{{\kappa }_0}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}J+\theta J\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)\mathrm{d}V=\underset{{\kappa }_0}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}+\theta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)J\mathrm{d}V$

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ₀ から変形形状κ_t に、積分変数をdV からdv に変換する。

$\underset{{\kappa }_0}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}+\theta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)J\mathrm{d}V=\underset{{\kappa }_t}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}+\theta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)\mathrm{d}v$

結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。

$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\underset{{\kappa }_t}{\int }\theta (𝒙,t)\mathrm{d}v=\underset{{\kappa }_t}{\int }(\frac{\mathrm{D}\theta }{\mathrm{D}t}+\theta \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝒗)\mathrm{d}v$

例

連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。テンプレート:Main

参考文献

• テンプレート:Cite book