連続体力学

テンプレート:Pathnav テンプレート:Physics navigation テンプレート:連続体力学 連続体力学（れんぞくたいりきがく、テンプレート:Lang-en）とは、物理的対象を連続体という空間的広がりを持った物体として理想化してその力学的挙動を解析する物理学の一分野である。

連続体力学では対象である連続体を巨視的に捉え、分子構造のような内部の微視的な構造が無視できるなめらかなものであり、力を加えることで変形するものとみなす。

概要

主な連続体として弾性体と流体があるテンプレート:Sfn。

直観的には弾性体とは圧力を取り除くと元の状態に復帰する固体であり、流体は気体、液体、プラズマを記述するものである。

連続体力学は物体を空間上の一点に近似して扱う質点の力学とは区別され、物体の変形を許容しない剛体の力学とも区別される。剛体は、変形しにくさを表す量である弾性係数が無限大である（すなわち一切変形しない）連続体であるとみなすこともできるテンプレート:Sfn。

連続体の力学は材料力学、水力学、土質力学といった応用力学、およびそれらの応用分野である材料工学、化学工学、機械工学、航空宇宙工学などで用いられる。

基礎概念

連続体の記述方法

連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている。

第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で、時刻 テンプレート:Mvar に空間上の点 テンプレート:Mvar における物理量 テンプレート:Mvar を

$Q=F(𝒙,t)$

として記述する方法である。この表示は連続体の空間表示（テンプレート:En）、あるいはオイラー表示（オイラー記述、テンプレート:En）と呼ばれる。空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場として記述される。

第二の表示は、連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 テンプレート:Math に初期位置 テンプレート:Math にあった連続体の部分が時刻 テンプレート:Mvar において移動している位置を テンプレート:Math として、この部分に付随する物理量 テンプレート:Mvar を

$Q=F_{\text{m}}(t;{𝑿}_0)=F(𝑿(t),t)$

により記述する方法である。この表示は連続体の物質表示（テンプレート:En）、あるいはラグランジュ表示（ラグランジュ表記、テンプレート:En）と呼ばれる。物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 テンプレート:Mvar の関数として記述される。各部分の初期位置 テンプレート:Math は補助変数である。特に物質表示において速度は

$𝒗={𝒗}_{\text{m}}(t;{𝑿}_0)=𝒗(𝑿(t),t)=\frac{\mathrm{d}𝑿}{\mathrm{d}t}$

を満たす。

連続体を記述する二つの表示と対応して、二種類の時間微分が定義される。 空間表示と対応する時間微分は

$\frac{\partial Q}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial t}$

で定義される。空間表示では物理量が場として記述されるため、対応する時間微分は偏微分である。この微分はオイラー微分（テンプレート:En）、テンプレート:要出典と呼ばれる。

一方、物質表示と対応する時間微分は

$\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t}=\frac{\mathrm{d}{F}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{d}t}$

で定義される。物質表示では物理量は時間の関数として記述されるため、対応する時間微分は常微分である。この微分は物質微分（テンプレート:En）、物質時間微分（テンプレート:En）、流れに乗って移動するときの微分、実質微分、 ラグランジュ微分（テンプレート:En）などと呼ばれる。 これら二つの時間微分は連鎖律から

$\frac{\mathrm{d}{F}_{\text{m}}}{\mathrm{d}t}={[\frac{\mathrm{d}𝑿}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{grad}F+\frac{\partial F}{\partial t}]}_{𝒙=𝑿(t)}={[𝒗(𝒙,t)\cdot \mathrm{grad}F+\frac{\partial F}{\partial t}]}_{𝒙=𝑿(t)}$

となる。ここで右辺の括弧の中はオイラー表示で表されているので、オイラー表示におけるラグランジュ微分は

$\frac{\mathrm{D}Q}{\mathrm{D}t}=𝒗\cdot \mathrm{grad}Q+\frac{\partial Q}{\partial t}$ テンプレート:EquationRef

で表される。

ラグランジュ微分はオイラー微分と違いガリレイ変換に対して不変であるなどの利点がある。

連続体に働く力

重力のように体積要素テンプレート:Mathを使って

$\underset{V}{\int }\rho \mathrm{d}V$

のように表記できる力を体積力という。それに対して連続体の断面の面積要素テンプレート:Mathを使って表現できる力を 面積力といい、位置テンプレート:Mvarと面の法線テンプレート:Mvarを用いて面積力を

$\underset{S}{\int }{𝒑}_{𝒙}(𝒏)\mathrm{d}S$

と表記したとき、積分内のテンプレート:Mvarを連続体に働く応力という。

応力テンプレート:Mvarは面の法線テンプレート:Mvarに平行であるとは限らない。例えばゴムでできた柱が重力に負けて横に歪むのは重力に垂直な方向に応力が生じている為である。

応力のうち法線方向の成分を法線応力、法線と垂直な成分を接線応力というテンプレート:Sfn。法線応力が法線と同じ方向の時の法線応力を張力、反対方向の時の法線応力を圧力という。

応力を具体的に書き表すため、連続体内に一点テンプレート:Mvarを取り、微小な四面体を図のように定義する（本文と図の記号の違いに注意）と、テンプレート:Mvarの周りの面積力の総和は

$K_S$$={𝒑}_{𝒙}(𝒏)\mathrm{d}S-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_1)\mathrm{d}{S}_1-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_2)\mathrm{d}{S}_2-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_3)\mathrm{d}{S}_3$ $=({𝒑}_{𝒙}(𝒏)-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_1)\cdot {𝒆}_1-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_2)\cdot {𝒆}_2-{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_3)\cdot {𝒆}_3)\mathrm{d}S$

となる。

応力の釣り合いを示す四面体。本文とは記号が異なり、図のテンプレート:Mvar、テンプレート:Math、 テンプレート:Math、 テンプレート:Math、 テンプレート:Mathはそれぞれ本文のテンプレート:Mvar、テンプレート:Math、 テンプレート:Math、 テンプレート:Math、 テンプレート:Mathに対応している。また図と本文の双方においてテンプレート:Math、テンプレート:Math、テンプレート:Mathはそれぞれテンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸、テンプレート:Mvar軸方向の単位ベクトルである。

四面体に働く体積力をテンプレート:Mvarとすると、力の釣り合いから

$K_S+K_V=0$

であるが、四面体の大きさを小さくしていくと、面積力テンプレート:Mvarが四面体の一辺の長さの2乗に比例して小さくなっていくのに対し、体積力 テンプレート:Mvarはそれより速く一辺の長さの3乗に比例して小さくなっていくので、テンプレート:Mathは0でなければならない。よって

${𝒑}_{𝒙}(𝒏)={𝒑}_{𝒙}({𝒆}_1)\cdot {𝒆}_1+{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_2)\cdot {𝒆}_2+{𝒑}_{𝒙}({𝒆}_3)\cdot {𝒆}_3$

が成立する。 ${𝒑}_{𝒙}({𝒆}_j)$のテンプレート:Mvar方向成分をテンプレート:Mvarとすれば、

${𝒑}_{𝒙}(𝒏)=\left(\begin{array}{ccc}{𝒆}_1& {𝒆}_2& {𝒆}_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{𝒙}{}_{11}& {\sigma }_{𝒙}{}_{21}& {\sigma }_{𝒙}{}_{31}\\ {\sigma }_{𝒙}{}_{21}& {\sigma }_{𝒙}{}_{22}& {\sigma }_{𝒙}{}_{23}\\ {\sigma }_{𝒙}{}_{13}& {\sigma }_{𝒙}{}_{23}& {\sigma }_{𝒙}{}_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)$               テンプレート:EquationRef

が成立する。ここでテンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarの テンプレート:Mvar方向成分である。

行列 テンプレート:Mvarを連続体の応力テンソルという。

変形と歪み

力をかけるなどして 連続体が変形し、最初点テンプレート:Mvarにあった粒子がテンプレート:Mvar秒後にテンプレート:Mvarに移動したとする。このとき

$𝒓=𝒓(𝒙,t):={\varphi }_t(𝒙)-𝒙$

をこの変形の変位ベクトルと呼び、ヤコビ行列

$D={\left(\frac{\partial r_i}{\partial x_j}\right)}_{i,j}$              

をこの変形の変形テンソル(deformation tensor)と呼ぶ テンプレート:Sfn。

変形テンソルを対称部分と非対称部分に

$\begin{array}{cc}{E}_{ij}& =\frac{1}{2}(D_{ij}+D_{ji})\\ F_{ij}& =\frac{1}{2}(D_{ij}-D_{ji})\end{array}$              

とわけ、対称部分にあたるテンプレート:Mvarを歪みテンソル(strain tensor)というテンプレート:Sfn。

歪みテンソルの対角成分テンプレート:Mvarを伸縮歪み(elongation-contraction)、反対角成分をずれ歪み(shear strain)といい、伸縮歪みの総和

$\sum _i{E}_{ii}=\mathrm{\nabla }\cdot 𝒓$

を体積歪み(volume dilatation)というテンプレート:Sfn。

一方、反対称部分であるテンプレート:Mvarは定義より明らかに

$F_{ij}=-F_{ji}$、$F_{ii}=0$

である。

$\mathrm{\Omega }=({\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Omega }}_3):=(2F_{23},2F_{31},2F_{12})$

と定義すると、

$\mathrm{\Omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝒓$

である。 テンプレート:Mvarをこの変形の回転もしくは回転ベクトルというテンプレート:Sfn。

これらのテンソルは、変形を開始した時刻テンプレート:Mvarにおける位置テンプレート:Mvarと現在の時刻テンプレート:Mvarの関数であるので時間微分した量を計算できる：

$\begin{array}{c}{\frac{\partial D_{ij}}{\partial t}|}_{t=t_0}={\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial r_i}{\partial x_j}|}_{t=t_0}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\\ {\frac{\partial E_{ij}}{\partial t}|}_{t=t_0}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})\\ {\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial t}|}_{t=t_0}=\mathrm{\nabla }\times 𝒗\end{array}$               テンプレート:EquationRef

が成立する。ここで$𝒗=(v_1,v_2,v_3)$は速度ベクトルである。

$\frac{\partial v_i}{\partial x_j}$を変形速度テンソル(deformation rate tensor)、 $\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i})$を歪み速度テンソル(stain rate tensor)、 $\mathrm{\nabla }\times 𝒗$を渦度(vorticity)というテンプレート:Sfn。

さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度(elongation-contraction rate)、非対角成分をずれ歪み速度(shear stain rate)というテンプレート:Sfn。

連続体が満たす方程式

連続体の挙動は基礎方程式と呼ばれる微分方程式で記述される。

基礎方程式は全ての連続体が満たす保存則と研究対象である物質固有の構成式からなる。

本節では連続体が満たす保存則を紹介する。

連続の方程式

連続体を空間表記したとき、時刻テンプレート:Mvarにおける空間上の点テンプレート:Mvarでの連続体の密度をテンプレート:Mathとする。

空間内の領域テンプレート:Mvarを考え、 テンプレート:Mvarの境界テンプレート:Mvar上の微小な面テンプレート:Mathとその法線ベクトルテンプレート:Mvarに対し、微小時間テンプレート:Mvarにテンプレート:Mathからテンプレート:Mvarの外へ流出する粒子の総質量は$\rho 𝒗\cdot 𝒏\mathrm{\Delta }t\mathrm{d}S$であるので、空間内の領域テンプレート:Mvarの質量のテンプレート:Mvar秒間での増加量は 質量保存の法則より、

$\underset{V}{\int }\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{\Delta }t\mathrm{d}V=-\underset{\partial V}{\int }\rho 𝒗\cdot 𝒏\mathrm{\Delta }t\mathrm{d}S=-\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝒗)\mathrm{\Delta }t\mathrm{d}V$

である。ここで第二の等号はガウスの発散定理より従う。テンプレート:Mvarの任意性により、連続体は以下の連続の方程式を満たさねばならないことが結論づけられる：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝒗)=0$              

テンプレート:EquationNote式より、物質微分を使えば連続の方程式は

$\frac{\mathrm{D}\rho }{\mathrm{D}t}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot 𝒗=0$               テンプレート:EquationRef

とも書ける。

運動方程式

テンプレート:Mvarを連続体上の（時間変化しない）任意の領域とするとき、運動量保存の法則から以下が成立する:

(単位時間にテンプレート:Mvarに働く力積の総和)

= (単位時間にテンプレート:Mvarに流出する運動量の総和)

+ (単位時間にテンプレート:Mvarに働く体積力による力積)

+ (単位時間にテンプレート:Mvarの境界に働く面積力による力積)

上の式を具体的に書き下すことで、連続体の運動方程式を導出できる。

連続体の点テンプレート:Mvarにおける時刻テンプレート:Mvarでの密度をテンプレート:Mathとし、速度ベクトルをテンプレート:Mathとするとき、

(単位時間にテンプレート:Mvarに働く力積の総和) $=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{V}{\int }\rho 𝒗\mathrm{d}V=\underset{V}{\int }\frac{\partial (\rho 𝒗)}{\partial t}\mathrm{d}V,$

であり、

(単位時間にテンプレート:Mvarに流出する運動量の総和) = テンプレート:Mvar(微小面積テンプレート:Mathを通って流入した粒子の総質量)・(テンプレート:Mathの法線方向の粒子の速さ)テンプレート:Math $=\underset{\partial V}{\int }(\rho 𝒗)\cdot (𝒗\cdot 𝒏)\mathrm{d}S$ $=\underset{\partial V}{\int }{}^t(\rho v_1𝒗\cdot 𝒏,\rho v_2𝒗\cdot 𝒏,\rho v_3𝒗\cdot 𝒏)\mathrm{d}S$ $=\underset{V}{\int }{}^t(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho v_1𝒗),\mathrm{\nabla }\cdot (\rho v_2𝒗),\mathrm{\nabla }\cdot (\rho v_3𝒗))\mathrm{d}V$

である。最後の等式はガウスの発散定理による。ここでテンプレート:Mathである。 体積力をテンプレート:Mathとすると、

(単位時間にテンプレート:Mvarに働く体積力による力積) = $\underset{V}{\int }\rho 𝑲\mathrm{d}V$

であり、さらに${\mathit{\sigma }}_i=({\sigma }_{i,1},{\sigma }_{i,2},{\sigma }_{i,3})$とすると、

(単位時間にテンプレート:Mvarの境界に働く面積力による力積) = $\underset{\partial V}{\int }\sum _{i,j}{\sigma }_{i,j}{n}_j{𝒆}_j\mathrm{d}S$ $=\underset{\partial V}{\int }{}^t({\mathit{\sigma }}_1\cdot 𝒏,{\mathit{\sigma }}_2\cdot 𝒏,{\mathit{\sigma }}_3\cdot 𝒏)\mathrm{d}S$ $=\underset{V}{\int }{}^t(\mathrm{\nabla }\cdot {\mathit{\sigma }}_1,\mathrm{\nabla }\cdot {\mathit{\sigma }}_2,\mathrm{\nabla }\cdot {\mathit{\sigma }}_3)\mathrm{d}V$

である。最後の等式は再びガウスの発散定理による。

テンプレート:Mvarの任意性より、最終的に連続体の運動方程式は以下のようになるテンプレート:Sfn：

テンプレート:Mathに対し、 $\frac{\partial (\rho v_i)}{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot (\rho v_i𝒗)+\rho K_i+\mathrm{\nabla }\cdot {\mathit{\sigma }}_i$

なお、テンソルテンプレート:Mvarに対し

$\overrightarrow{\mathrm{div}}\epsilon =(\sum _j\frac{\partial {\epsilon }_{ij}}{\partial x_j}{)}_i$

と定義すると、上の方程式は

$\frac{\partial (\rho 𝒗)}{\partial t}=\overrightarrow{\mathrm{div}}(\rho 𝒗\otimes 𝒗)+\rho 𝑲+\overrightarrow{\mathrm{div}}\sigma$

と書くこともできる。

上の運動方程式と連続の方程式テンプレート:EquationNoteを用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができるテンプレート:Sfn：

$\frac{\mathrm{D}𝒗}{\mathrm{D}t}=𝑲+\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{div}}\sigma$               テンプレート:EquationRef

応力テンソルの対称性

角運動量が保存する場合、弾性体の各点テンプレート:Mvarで応力テンソルは対称性

任意のテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar∈{1,2,3}に対し${\sigma }_{𝒙,ij}={\sigma }_{𝒙,ji}$              

を満たす。

連続体の分類

連続体力学 連続体の研究	固体力学 外力がない状態で形状を保てる連続体に関する研究	弾性 圧力を取り除くと元の状態に復帰する性質
		塑性 圧力をかけると永久変形する性質	レオロジー 静的平衡においてせん断応力に耐えられない物体の研究
	流体力学 静止状態においてせん断応力が発生しない連続体（流体）を研究する分野	非ニュートン流体：ニュートン流体以外の流体
		ニュートン流体：流れの剪断応力（接線応力）と流れの速度勾配（ずり速度、剪断速度）の関係が線形である粘性の性質を持つ流体のこと

弾性体と塑性体

弾性体(elastic body)とは、各時刻において応力と変形に一意的な関係がある連続体の事を指すテンプレート:Sfn。それに対し塑性体(plastic body)とは、応力がある一定の限界を越えると変形が不可逆となり、応力を取り去った後も変形が残る（永久変形）連続体の事を指すテンプレート:Sfn。

弾性体の中で特に、応力テンソルと歪みテンソルが線形な関係式

${\sigma }_{ij}=\sum _{kl}{C}_{ijkl}{E}_{kl}$               テンプレート:EquationRef

を満たすものを線形弾性体といいテンプレート:Sfn、上述の関係式を線形弾性体上のフックの法則という。

このようなテンプレート:Mvarが存在するとき、テンプレート:Mvarを弾性係数(elastic constant)といい、弾性係数を並べたテンソルを弾性係数テンソルというテンプレート:Sfn。

また弾性体の中で、その物理的特性が方向性に依存しないものを等方弾性体(isotropic elastic body)というテンプレート:Sfn。

等方かつ線形な弾性体の弾性係数テンソルは

$C_{ijkl}=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\mu ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})$               テンプレート:EquationRef

という形で書き表せる事が知られている。定数λとμをラメの弾性定数(Lame's elastic constant)というテンプレート:Sfn。

このとき、テンプレート:EquationNote、 テンプレート:EquationNoteより

${\sigma }_{ij}=\lambda \sum _k{E}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu E_{ij}$               テンプレート:EquationRef

一方、塑性体は弾性体と違い、応力を加えるときと取り除くときで変形の関係式が異なる弾性履歴という現象が観測されるテンプレート:Sfn。

また複雑な分子構造の高分子で物質では応力と変形に時間的なズレが生じ、遅延弾性や応力緩和といった現象が起こる事があるテンプレート:Sfn。

等方かつ線形な弾性体の運動方程式

弾性体の場合、弾性体上の各点の運動速度テンプレート:Mvarが小さい。従って連続体の運動方程式テンプレート:EquationNote

$\frac{\mathrm{D}𝒗}{\mathrm{D}t}=𝑲+\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{div}}\sigma$

の左辺は物質微分の定義テンプレート:EquationNote より

$\frac{\mathrm{D}𝒗}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial 𝒗}{\partial t}+𝒗\cdot \mathrm{\nabla }𝒗$

であるが、第二項はテンプレート:Mvarに関する二次の微小量であるので無視できる。

さらにテンプレート:Mvarの時間変化が無視できるほど小さいとすれば、

$\frac{{\partial }^2𝒗}{\partial t^2}=\frac{\partial 𝑲}{\partial t}+\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{div}}\frac{\partial \sigma }{\partial t}$

弾性体が等方かつ線形であればテンプレート:EquationNote、 テンプレート:EquationNoteより 各テンプレート:Mvarに対し、

$\mathrm{div}({\partial }_t{\sigma }_{ij}{)}_j=\mathrm{\nabla }\cdot (\lambda \sum _k{\partial }_t{E}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu {\partial }_t{E}_{ij}{)}_j$ $=\mathrm{\nabla }\cdot (\lambda {\delta }_{ij}\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗+\mu ({\partial }_i{v}_j+{\partial }_j{v}_i){)}_j$ $=(\lambda +\mu ){\partial }_i\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗+\mu \mathrm{\Delta }{v}_j$

よって等方かつ線形な弾性体の運動方程式は以下のようになるテンプレート:Sfn

$\frac{{\partial }^2𝒗}{\partial t^2}=\frac{\partial 𝑲}{\partial t}+\frac{1}{\rho }((\lambda +\mu )\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗)+\mu \mathrm{\Delta }𝒗)$              

流体

静止状態で任意の点の全ての断面において接線応力が0になる連続体を流体という テンプレート:Sfn。

静止状態にある流体の任意の点テンプレート:Mvarに対し、 テンプレート:Mvarにおける法線テンプレート:Mvar方向の法線応力はテンプレート:Mvarの形に書け、しかもテンプレート:Mvarは テンプレート:Mvarのみに依存し、法線テンプレート:Mvarに依存しない事が簡単に証明できる。 応力テンプレート:Mvarを静水圧というテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvarが正のとき静水圧は圧力であり、負のとき静水圧は張力である。流体が気体もしくは熱平衡状態にある液体であれば テンプレート:Mvarは常に正である事が知られているが、準熱平衡状態にある液体ではテンプレート:Mvarが負になる事もありうるテンプレート:Sfn。これを負圧といい、樹木による樹液の吸い上げや地面の凍上で観測される現象であるテンプレート:Sfn。

運動状態においても接線応力が生じない流体を完全流体というテンプレート:Sfnテンプレート:Efn2。オイラーの時代には流体はどれも完全流体としてモデル化されていたが、接線応力が無いという事は、運動している流体の中に棒をさしても一切抵抗を受けないという事なので直観に反する（ダランベールのパラドックス）。

こうした事情から、流体であっても運動している際には抵抗を受けるものとしてモデル化されるようになった。運動している流体の応力が

${\sigma }_{ij}=G_{ij}+\sum _{kl}G{\text{'}}_{ijkl}{\dot{E}}_{kl}$               テンプレート:EquationRef

と歪み速度テンソルの一次式で記述できる流体をニュートン流体、そうでない流体を非ニュートン流体というテンプレート:Sfn。

流体の定義から静止状態では接線応力が0なので、テンプレート:Mvarは静水圧テンプレート:Mvarを用いて

$G_{ij}=-p{\delta }_{ij}$               テンプレート:EquationRef

と書ける。さらに流体が等方性を満たせば、弾性体の時と同様の議論により

$G_{ijkl}=\zeta {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\eta ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})$               テンプレート:EquationRef

が成立するテンプレート:Sfn。

テンプレート:EquationNote、 テンプレート:EquationNote、 テンプレート:EquationNoteより、

${\sigma }_{ij}=(-p+\zeta \sum _k{\dot{E}}_{kk}){\delta }_{ij}+2\eta {\dot{E}}_{ij}$               テンプレート:EquationRef

である。テンプレート:Mvarをずれ粘性率(shear viscousity)あるいは単に粘性率といい、テンプレート:Mvarを第二粘性率というテンプレート:Sfn。

定義より体積歪み速度$\sum _i{\dot{E}}_{ii}$は

$\begin{array}{cc}\sum _i{\sigma }_{ii}& =3(-p+\chi \sum _i{\dot{E}}_{ii})\\ \chi & :=\zeta +\frac{2}{3}\eta \end{array}$               テンプレート:EquationRef

を満たす。 テンプレート:Mvarを体積粘性率(bulk viscousity)という。

テンプレート:Mathであれば、運動している場合でも接線応力が0である事になるので、これは流体が完全流体である事を意味する。このため完全流体の事を非粘性流体ともいうテンプレート:Sfn。

流体の運動方程式

等方なニュートン流体であれば テンプレート:EquationNoteより、 各テンプレート:Mvarに対し、

$\mathrm{div}({\sigma }_{ij}{)}_j$ $=\mathrm{\nabla }\cdot ((-p+\zeta \sum _k{\dot{E}}_{kk}){\delta }_{ij}+2\eta {\dot{E}}_{ij}{)}_j$               テンプレート:EquationRef

であるので、これを連続体の運動方程式テンプレート:EquationNote

$\frac{\mathrm{D}𝒗}{\mathrm{D}t}=𝑲+\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{div}}\sigma$

に代入する事で、等方なニュートン流体の運動方程式が得られる。

テンプレート:Mvarやテンプレート:Mvarは流体の圧力や温度に依存するが、こうした影響が小さいとすれば テンプレート:Mvarやテンプレート:Mvarは定数だと見なせるので、テンプレート:EquationNoteの式の右辺はテンプレート:EquationNoteより

$-{\partial }_{i}p+{\partial }_i(\zeta \mathrm{\nabla }\cdot 𝒗)+\sum _j{\partial }_j(\eta {\partial }_j{v}_i)+{\partial }_j(\eta {\partial }_i{v}_j)$ $=-{\partial }_{i}p+(\zeta +\eta ){\partial }_i\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗+\eta \mathrm{\Delta }{v}_j$

となる。ここでテンプレート:Mathはラプラシアンである。 よってテンプレート:EquationNoteよりナビエ・ストークス方程式

$\frac{\mathrm{D}𝒗}{\mathrm{D}t}=𝑲-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+(\chi +\frac{\eta }{3})\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝒗)+\frac{\eta }{\rho }\mathrm{\Delta }𝒗$              

が従う。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• シェイクダウン (連続体力学)
• ニュートン力学
• テンソル
• 非圧縮性
• クヌーセン数