レイヤーケーキ表現のソースを表示

[[数学]]において、''n'' [[次元]][[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上で定義される[[正の数と負の数|非負]][[実数|実数値]][[可測函数]] ''f'' の'''レイヤーケーキ表現'''（レイヤーケーキひょうげん、{{Lang-en-short|layer cake representation}}）とは、次の式のことをいう：

:<math>f(x) = \int_0^{+ \infty} 1_{L(f, t)} (x) \, \mathrm{d} t \text{ for all } x \in \mathbb{R}^{n}.</math>

ここで 1<sub>''E''</sub> は部分集合 ''E''&nbsp;⊆&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> の[[指示函数]]を表し、''L''(''f'',&nbsp;''t'') は[[等位集合|優位集合]]

:<math>L(f, t) = \{ y \in \mathbb{R}^n | f(y) \geq t \}</math>

を表す。レイヤーケーキ表現が可能なことは、次の関係式

:<math> 1_{L(f, t)}(x) = 1_{[0, f(x)]}(t)</math>

と次の式より容易に分かる：

:<math>f(x) = \int_0^{f(x)} \mathrm{d} t.</math>

[[ショートケーキ|レイヤーケーキ]]表現と呼ばれる理由は、値 ''f''(''x'') をレイヤー ''L''(''f'',&nbsp;''t'') 毎の和として表現していることによる。すなわち ''f''(''x'') より下の値 ''t'' のみが積分されている。

== 関連項目 ==
* [[対称減少再配分]]

== 参考文献 ==
* {{cite journal | last=Gardner | first=Richard J. | title=The Brunn–Minkowski inequality | journal=[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]] (N.S.) | volume=39 | issue=3 | year=2002 | pages=355–405 (electronic) | doi=10.1090/S0273-0979-02-00941-2 }}
* {{cite book
|last1=Lieb
|first1=Elliott
|authorlink1=:en:Elliott H. Lieb
|last2=Loss
|first2=Michael|author2-link=:en:Michael Loss
|title=Analysis
|year=2001|edition=2nd
|publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]
|series=[[:en:Graduate Studies in Mathematics|Graduate Studies in Mathematics]]|volume=14
|isbn=978-0821827833}}

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[[Category:表現]]
[[Category:数学に関する記事]]