レイリーの定理のソースを表示

[[数学]]における'''レイリーの定理'''とは、1より大きい[[無理数]]が、[[床関数と天井関数|床関数]]によって[[自然数]]全体を[[素集合|互いに素]]な2つの[[集合]]に分ける方法を与える定理である。

[[1894年]]に言及した<ref>{{Cite book |author=[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh]] |title=The Theory of Sound |url=https://books.google.com/books?id=EGQSAAAAIAAJ&pg=PA123 |publisher=Macmillan |volume=1 |edition=Second |year=1894 |page=123}}</ref>[[物理学者]][[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]に由来する。

得られた集合の元を小さい順に並べたものを[[ビーティ数列]]と呼ぶため、'''ビーティの定理'''と呼ばれることもある。

== 概要 ==
1 より大きい[[実数]] {{math2|''r'', ''s''}} に対して、
:(R1) {{math2|''r'', ''s''}} が[[無理数]]で、<math>\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1</math>
ならば、
:(R2) [[床関数と天井関数|床関数]]による表示の[[数列]]
::<math>B_r=\{\lfloor nr \rfloor\,|\,n\in\mathbb{N}\}</math>, <math>B_s=\{\lfloor ns \rfloor\,|\,n\in\mathbb{N}\}</math>
:の項全体は、重複がなく[[自然数]]全体を取る。
:（注1）[[集合]]の[[元 (数学)|元]]に重複がないだけでなく、数列の項に重複がない。
:（注2）{{math2|(1 <) ''r'' < ''s''}} ならば {{math2|1 < ''r'' < 2 < ''s''}} である。
この定理は[[逆]]も成り立つ<ref>[https://sugakuyugi.web.fc2.com/Wythoff_setumei.pdf Wythoff の石取りゲーム] 数学パズル・ゲームの広場</ref><ref>佐藤文広（立教大学理学部）[https://www2.rikkyo.ac.jp/web/sato/ishitori/1003bii.pdf 数理で読み解く石取りゲーム 連載◎第 12 回補足（2010年3月号）]</ref>。

== 例 ==
{{math2|1=''r'' = {{sqrt|2}}}} は 1 より大きい無理数である。このとき、{{math2|1={{sfrac|1|''r''}} + {{sfrac|1|''s''}} = 1}} より {{math2|1=''s'' = 2 + {{sqrt|2}}}} となる。このとき、数列 {{math2|''B{{sub|r}}'', ''B{{sub|s}}''}} の項を順に並べると、次の表のようになる。
{|class="wikitable" style="text-align:right"
|+{{math2|1=''r'' = {{sqrt|2}}}} による自然数の分割
!{{mvar|n}}
|1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||11||12||13||14||15||16||17||18||19||20||…
|-
!{{mvar|B{{sub|r}}}}
|1||2||4||5||7||8||9||11||12||14||15||16||18||19||21||22||24||25||26||28||…
|-
!{{mvar|B{{sub|s}}}}
|3||6||10||13||17||20||23||27||30||34||37||40||44||47||51||54||58||61||64||68||…
|}

== 証明 ==
{{math2|''r'' > 1, ''s'' > 1}} とする。(R1) と (R2) は[[同値]]となるが、それを証明するために、まず必要性・十分性のどちらの議論にも必要なことを述べておく。

{{mvar|N}} を任意の自然数とする。
:<math>\lfloor nr \rfloor \leq N</math> …① を満たす自然数 {{mvar|n}} が {{mvar|i}}個、
:<math>\lfloor ns \rfloor \leq N</math> …② を満たす自然数 {{mvar|n}} が {{mvar|j}}個
であるとする。

①より
:<math>\lfloor ir \rfloor \leq N< \lfloor (i+1)r \rfloor</math>
:<math>ir<N+1 \leq (i+1)r</math>
:<math>i< \frac{N+1}{r} \leq i+1</math> …③
同様に
:<math>j< \frac{N+1}{s} \leq j+1</math> …④
③ + ④ より
:<math>i+j<(N+1)\left( \frac{1}{r} + \frac{1}{s} \right) \leq i+j+2</math> …⑤

（(R1) ⇒ (R2) の証明）

{{math2|''r'', ''s''}} は無理数より、③, ④の等号は成り立たない。故に⑤, {{math2|1={{sfrac|1|''r''}} + {{sfrac|1|''s''}} = 1}} より
:<math>i+j<N+1<i+j+2</math>
{{math2|''N'' + 1}} は整数より {{math2|1=''N'' + 1 = ''i'' + ''j'' + 1}}, ∴ {{math2|1=''N'' = ''i'' + ''j''}}。

{{mvar|N}} の任意性より、数列 {{math2|''B{{sub|r}}'', ''B{{sub|s}}''}} の項全体は、自然数全体を重複なく取る。

（(R2) ⇒ (R1) の証明）

(R2) より {{math2|1=''N'' = ''i'' + ''j''}} …⑥

⑤, ⑥より
:<math>N<(N+1)\left( \frac{1}{r} + \frac{1}{s} \right) \leq N+2</math>
:<math>\frac{N}{N+1} < \frac{1}{r} + \frac{1}{s} \leq \frac{N+2}{N+1}</math>
{{math2|''N'' → ∞}} とすると、[[はさみうちの原理]]より
:<math>\frac{1}{r} + \frac{1}{s} =1</math> …⑦
{{mvar|r}} または {{mvar|s}} は有理数と仮定する。このとき⑦より {{mvar|r}} も {{mvar|s}} も有理数である。

{{math2|1=''r'' =: {{sfrac|''a''|''b''}}, ''s'' =: {{sfrac|''c''|''d''}}}}（{{mvar|a}}～{{mvar|d}} は自然数）とおくと、{{math2|1=&#8970;''bc''⋅''r''&#8971; = &#8970;''ad''⋅''s''&#8971;}} となり項が重複しないことに矛盾。

故に {{math2|''r'', ''s''}} は無理数である。■

== 出典・脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ビーティ数列]]
* [[ワイソフのゲーム]]（必勝形がレイリーの定理より求められる）

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1019|レイリーの定理とその自然な証明}}

{{DEFAULTSORT:れいりいのていり}}
[[Category:数論]]
[[Category:数論の定理]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:ディオファントス近似]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]