レイリーの定理

数学におけるレイリーの定理とは、1より大きい無理数が、床関数によって自然数全体を互いに素な2つの集合に分ける方法を与える定理である。

1894年に言及した物理学者レイリー卿に由来する。

得られた集合の元を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。

概要

1 より大きい実数 テンプレート:Math2 に対して、

(R1) テンプレート:Math2 が無理数で、$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$

ならば、

(R2) 床関数による表示の数列

$B_r=\{\lfloor nr\rfloor |n\in \mathbb{N}\}$, $B_s=\{\lfloor ns\rfloor |n\in \mathbb{N}\}$

の項全体は、重複がなく自然数全体を取る。

（注1）集合の元に重複がないだけでなく、数列の項に重複がない。

（注2）テンプレート:Math2 ならば テンプレート:Math2 である。

この定理は逆も成り立つ。

例

テンプレート:Math2 は 1 より大きい無理数である。このとき、テンプレート:Math2 より テンプレート:Math2 となる。このとき、数列 テンプレート:Math2 の項を順に並べると、次の表のようになる。

テンプレート:Math2 による自然数の分割

テンプレート:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	…
テンプレート:Mvar	1	2	4	5	7	8	9	11	12	14	15	16	18	19	21	22	24	25	26	28	…
テンプレート:Mvar	3	6	10	13	17	20	23	27	30	34	37	40	44	47	51	54	58	61	64	68	…

証明

テンプレート:Math2 とする。(R1) と (R2) は同値となるが、それを証明するために、まず必要性・十分性のどちらの議論にも必要なことを述べておく。

テンプレート:Mvar を任意の自然数とする。

$\lfloor nr\rfloor \le N$ …① を満たす自然数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar個、

$\lfloor ns\rfloor \le N$ …② を満たす自然数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar個

であるとする。

①より

$\lfloor ir\rfloor \le N<\lfloor (i+1)r\rfloor$

$ir<N+1\le (i+1)r$

$i<\frac{N+1}{r}\le i+1$ …③

同様に

$j<\frac{N+1}{s}\le j+1$ …④

③ + ④ より

$i+j<(N+1)(\frac{1}{r}+\frac{1}{s})\le i+j+2$ …⑤

（(R1) ⇒ (R2) の証明）

テンプレート:Math2 は無理数より、③, ④の等号は成り立たない。故に⑤, テンプレート:Math2 より

$i+j<N+1<i+j+2$

テンプレート:Math2 は整数より テンプレート:Math2, ∴ テンプレート:Math2。

テンプレート:Mvar の任意性より、数列 テンプレート:Math2 の項全体は、自然数全体を重複なく取る。

（(R2) ⇒ (R1) の証明）

(R2) より テンプレート:Math2 …⑥

⑤, ⑥より

$N<(N+1)(\frac{1}{r}+\frac{1}{s})\le N+2$

$\frac{N}{N+1}<\frac{1}{r}+\frac{1}{s}\le \frac{N+2}{N+1}$

テンプレート:Math2 とすると、はさみうちの原理より

$\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1$ …⑦

テンプレート:Mvar または テンプレート:Mvar は有理数と仮定する。このとき⑦より テンプレート:Mvar も テンプレート:Mvar も有理数である。

テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar～テンプレート:Mvar は自然数）とおくと、テンプレート:Math2 となり項が重複しないことに矛盾。

故に テンプレート:Math2 は無理数である。■

関連項目

• ビーティ数列
• ワイソフのゲーム（必勝形がレイリーの定理より求められる）

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語