レイリー分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 =レイリー分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Rayleigh distributionPDF.png|325px|Plot of the Rayleigh PDF]]
|画像/分布関数 = [[画像:Rayleigh distributionCDF.png|325px|Plot of the Rayleigh CDF]]
|母数 = <math>\sigma >0</math>
|台 = <math>[0,\infty )</math>
|確率関数 = <math>\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2 /2\sigma^2}</math>
|分布関数 = <math>1-e^{-x^2 /2\sigma^2}</math>
|期待値 = <math>\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>
|中央値 = <math>\sigma \sqrt{\ln (4)}</math>
|最頻値 = <math>\sigma</math>
|分散 = <math>\frac{4-\pi}{2} \sigma^2</math>
|歪度 = <math>\frac{2\sqrt{\pi}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}</math>
|尖度 = <math>-\frac{6\pi^2 -24\pi +16}{(4-\pi)^2}</math>
|エントロピー = <math>1+\ln \left( \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \right) +\frac{\gamma}{2}</math>
|モーメント母関数 = <math>\begin{matrix}
  1+\sigma t\, e^{\sigma^2 t^2 /2} \\
 \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \operatorname{erf} \left( \frac{\sigma t}{\sqrt{2}} \right) \! +\! 1\right)
\end{matrix}</math>
|特性関数 = <math>\begin{matrix}
  1\! -\! \sigma te^{-\sigma^2t^2/2} \\
  \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \! \left( \operatorname{erfi} \! \left( \frac{\sigma t}{\sqrt{2}} \right) \! -\! i\right)
\end{matrix}</math>
}}
'''レイリー分布'''（レイリーぶんぷ、{{lang-en-short|Rayleigh distribution}}）は、[[確率分布#確率分布の分類|連続型]]の[[確率分布]]である。[[イギリス]]の[[物理学]]者[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]に因んで名付けられた。

== 定義と性質 ==
確率変数を実数 {{math2|''x'' (''x'' ≥ 0)}} とするときのレイリー分布の[[確率密度関数]]は以下の式で定義される。
:<math>\frac{x}{\sigma^2} \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right)</math>
期待値は <math>\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}</math>、分散は <math>\left( 2-\frac{\pi}{2} \right) \sigma^2</math> である。

確率変数の観測値が {{mvar|X{{sub|i}}}} として得られたとき、パラメータ {{mvar|σ}} の最尤推定値は
:<math>\hat{\sigma} =\sqrt{\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n X_i^2}</math>
である。

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[ワイブル分布]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?Rayleigh分布 朱鷺の杜Wiki]
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:れいりいふんふ}}
[[Category:確率分布|れいりい]]
[[Category:ジョン・ウィリアム・ストラット]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]