レイリー商のソースを表示

{{翻訳中途|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rayleigh_quotient&oldid=749055010 Rayleigh quotient, 2016年11月12日 (土) 02:59]|date=2016-11-29}}
{{anchors|概要}}
[[数学]]における、与えられた複素[[エルミート行列]] {{mvar|'''M'''}} と零でない[[幾何ベクトル|ベクトル]] {{mvar|'''x'''}} に対する'''レイリー商'''（れいりーしょう、{{lang-en-short|Rayleigh quotient}}）または'''レイリー・リッツ比'''（レイリー・リッツひ、{{lang-en-short|Rayleigh&ndash;Ritz ratio}}）は次のように定義される{{sfn|Horn|Johnson|1985|pp=176&ndash;180}}{{sfn|Parlet|1998|p={{要ページ番号|date=2016-11-29}}}}：
:<math>R(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{x}) := \frac{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x}}.</math>
名称は[[物理学者]]の[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]と[[ヴァルター・リッツ]]に因む。

[[実数|実]]行列および実ベクトルについて、エルミート行列である条件は[[対称行列]]である条件に、[[共役転置]] {{math|'''''x'''''<sup>*</sup>}} は単なる[[転置行列|転置]] {{math|'''''x'''''<sup>T</sup>}} に一致し、また任意の零でない実[[スカラー]] {{mvar|c}} に対してレイリー商は {{math|1=''R''('''''M''''', ''c'''x''''') = ''R''('''''M''''', '''''x''''')}} を満たす。エルミート（または実対称）行列の性質より、その[[固有値]]は実数であるから、レイリー商 {{math|''R''('''''M''''', '''''x''''')}} の[[最小値]]は行列 {{mvar|'''M'''}} の最小の固有値 {{math|''&lambda;''<sub>min</sub>}} に等しく、このときベクトル {{mvar|'''x'''}} は最小固有値に対応する[[固有ベクトル]] {{math|'''''v'''''<sub>min</sub>}} に等しい。同様にレイリー商の最大値は行列 {{mvar|'''M'''}} の最大固有値 {{math|''&lambda;''<sub>max</sub>}} に等しく、このときベクトル {{mvar|'''x'''}} は最大固有値に対応する固有ベクトル {{math|'''''v'''''<sub>max</sub>}} に等しい。

レイリー商は{{仮リンク|ミニマックス定理|en|min-max theorem}}において行列のすべての固有値の厳密な値を求めることに利用される。また固有値計算アルゴリズムにおいて[[近似]]的な固有ベクトルから固有値の近似値を求めることにも利用される。具体的には、{{仮リンク|レイリー商反復法|en|Rayleigh quotient iteration}}に基づく。

エルミート行列に限らない一般のレイリー商の[[値域]]は{{仮リンク|数域|en|numerical range}}と呼ばれる（あるいは[[関数解析学]]においては[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]という）。エルミート行列のレイリー商について、その数域は[[スペクトルノルム]]に等しい。関数解析学においては、{{math|''&lambda;''<sub>max</sub>}} は[[スペクトル半径]]として知られる。[[C*-環|{{math|C<sup>*</sup>}}代数]]や代数的量子力学の文脈では、固定された {{mvar|'''x'''}} と代数上で動く {{mvar|'''M'''}} に対するレイリー商 {{math|''R''('''''M''''', '''''x''''')}} を、{{mvar|'''M'''}} の代数上の'''ベクトル状態''' {{en|(vector state)}} と見なすことがある。

==エルミート行列の境界==
[[エルミート行列]] {{mvar|'''M'''}} の固有値 {{mvar|&lambda;<sub>i</sub>}} と固有ベクトル {{mvar|'''v'''<sub>i</sub>}} の間の関係は
:<math>\boldsymbol{M}\boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i</math>
である。上で述べたとおり {{mvar|'''M'''}} に対するレイリー商 {{math|''R''('''''M''''', '''''x''''')}} は[[実数]]で、その範囲は {{mvar|'''M'''}} の固有値の最小値 {{math|''&lambda;''<sub>min</sub>}} と最大値 {{math|''&lambda;''<sub>max</sub>}} の間となる：
:<math>R(\boldsymbol{M},\boldsymbol{x}) \in \left[\lambda_\min, \lambda_\max \right]\,.</math>
このことは、ベクトル {{mvar|'''x'''}} が {{mvar|'''M'''}} の[[固有ベクトル]] {{math|{{mset|'''''v'''<sub>i</sub>''}}}} によって[[線型結合|展開]]できることから示すことができる。
{{mvar|'''x'''}} を[[正規直交系|規格化された]]固有ベクトル（{{math|1='''''v'''<sub>i</sub>''<sup>*</sup>'''''v'''<sub>j</sub>'' = ''&delta;<sub>ij</sub>''}}：[[クロネッカーのデルタ]]）で以下のように展開する:
:<math>\boldsymbol{x} = \sum_{i} c_i \boldsymbol{v}_i.</math>
展開係数は固有ベクトルとの[[内積]]
:<math>c_i = \boldsymbol{v}_i^{*} \boldsymbol{x}</math>
である。
{{mvar|'''x'''}} の固有ベクトルによる展開をレイリー商に適用すれば、レイリー商が {{mvar|'''M'''}} の固有値の[[重み付き平均]]に等しくなることが示される：
:<math>R(\boldsymbol{M},\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x}}
= \frac{\sum_{i} \lambda_i |c_i|^2}{\sum_{i} |c_i|^2}.</math>
重み付き平均の形から、レイリー商の[[値域]]とその境界が固有ベクトル {{math|'''''v'''''<sub>min</sub>, '''''v'''''<sub>max</sub>}} によって定められることが確認できる。

レイリー商が固有値の重み付き平均に等しいという事実から、すべての固有値を特定することができる。それぞれの固有値が {{math|1=''&lambda;''<sub>max</sub> = ''&lambda;''<sub>1</sub> &ge; ''&lambda;''<sub>2</sub> &ge; ... &ge; ''&lambda;''<sub>''n''</sub> = ''&lambda;''<sub>min</sub>}} と降順に並べてあるとすると、{{mvar|'''x'''}} が基底 {{math|'''''v'''''<sub>1</sub>}} に[[直交]]するという条件の下では、{{math|1='''''v'''''<sub>1</sub><sup>*</sup>'''''x''''' = ''a''<sub>1</sub> = 0}} であり、レイリー商 {{math|''R''('''''M''''', '''''x''''')}} の最大値は {{math|''&lambda;''<sub>2</sub>}} となる。またこのとき {{math|1='''''x''''' = '''''v'''''<sub>2</sub>}} である。

== ラグランジュの未定乗数法による導出 ==
レイリー商に関する関係は[[ラグランジュの未定乗数法]]を用いても導くことができる。問題は
:<math>R(\boldsymbol{M},\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} \boldsymbol{x}, \quad \text{subject to } \|\boldsymbol{x}\|^2 = \boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x} = 1</math>
の[[停留点]]を求めることである。拘束条件として {{mvar|'''x'''}} のノルムを1にしているのは、0以外でスカラー倍してもレイリー商は変わらないためである。

[[ラグランジュ関数]] <math>\textstyle \mathcal{L}</math> と未定乗数 {{mvar|λ}} で書き直すと、
:<math>\mathcal{L}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} \boldsymbol{x}  -\lambda (\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x} - 1). </math>
の停留点 <math>
\delta\mathcal{L}(\boldsymbol{x}) = 0 </math> を求めることになる。[[変分法|変分]]を計算すると、
:<math>
\begin{align}
\delta \boldsymbol{x}^{*} (\boldsymbol{M} \boldsymbol{x} - \lambda \boldsymbol{x}) + (\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} - \lambda \boldsymbol{x}^{*}) \delta \boldsymbol{x} &= 0 \\
\therefore \boldsymbol{M} \boldsymbol{x} &= \lambda \boldsymbol{x}.
\end{align} </math>

なので、停留点において未定乗数 {{mvar|λ}} は {{mvar|'''M'''}} の固有値で、{{mvar|'''x'''}} は対応する固有ベクトルであり、レイリー商は
:<math>R(\boldsymbol{M},\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{M} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x}} = \lambda,</math>
すなわち <math>\textstyle \mathcal{L}</math> の停留値となる。この性質は[[主成分分析]]や{{仮リンク|正準相関分析|en|canonical correlation analysis}}の基礎となっている。
<!--
==Use in Sturm&ndash;Liouville theory==
[[Sturm&ndash;Liouville theory]] concerns the action of the [[linear operator]]

:<math>L(y) = \frac{1}{w(x)}\left(-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y\right)</math>

on the [[inner product space]] defined by

:<math>\langle{y_1,y_2}\rangle = \int_a^b w(x)y_1(x)y_2(x) \, dx</math>

of functions satisfying some specified [[boundary conditions]] at ''a'' and ''b''. In this case the Rayleigh quotient is

:<math>\frac{\langle{y,Ly}\rangle}{\langle{y,y}\rangle} = \frac{\int_a^b y(x)\left(-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y(x)\right)dx}{\int_a^b{w(x)y(x)^2}dx}.</math>

This is sometimes presented in an equivalent form, obtained by separating the integral in the numerator and using [[integration by parts]]:

:<math>\begin{align}
\frac{\langle{y,Ly}\rangle}{\langle{y,y}\rangle} &= \frac{ \left \{ \int_a^b y(x)\left(-\frac{d}{dx}\left[p(x)y'(x)\right]\right) dx \right \}+ \left \{\int_a^b{q(x)y(x)^2} \, dx \right \}}{\int_a^b{w(x)y(x)^2} \, dx} \\
&= \frac{ \left \{\left. -y(x)\left[p(x)y'(x)\right] \right |_a^b \right \} + \left \{\int_a^b y'(x)\left[p(x)y'(x)\right] \, dx \right \} + \left \{\int_a^b{q(x)y(x)^2} \, dx \right \}}{\int_a^b w(x)y(x)^2 \, dx}\\
&= \frac{ \left \{ \left. -p(x)y(x)y'(x) \right |_a^b \right \} + \left \{ \int_a^b \left [p(x)y'(x)^2 + q(x)y(x)^2 \right] \, dx \right \} } {\int_a^b{w(x)y(x)^2} \, dx}.
\end{align}</math>
-->

==一般化==
レイリー商の一般化として以下のようなものがある。

与えられた[[行列]]の組 {{math|('''''A''''', '''''B''''')}} および零でないベクトル {{mvar|'''x'''}} に対する'''一般化されたレイリー商''' {{en|(generalized Rayleigh quotient)}} は以下のように定義される：
:<math>R(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}; \boldsymbol{x}) := \frac{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}.</math>
一般化されたレイリー商は狭義のレイリー商 {{math|''R''('''''D''''', '''''C'''''<sup>*</sup>'''''x''''')}} へ簡約することができる。ここで 
:<math>\boldsymbol{D} := \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{A} {\boldsymbol{C}^{*}}^{-1}</math>
であり、{{math|'''''CC'''''<sup>*</sup>}} は[[行列の定値性|正定値]]エルミート行列 {{mvar|'''B'''}} の[[コレスキー分解]]である。

与えられた零でないベクトルの組 {{math|('''''x''''', '''''y''''')}} およびエルミート行列 {{mvar|'''H'''}} に対する一般化されたレイリー商は次のように定義される：
:<math>R(\boldsymbol{H}; \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) := \frac{\boldsymbol{y}^{*} \boldsymbol{H} \boldsymbol{x}}{\sqrt{\boldsymbol{y}^{*}\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{x}}}.</math>
これは {{math|1='''''x''''' = '''''y'''''}} の場合に狭義のレイリー商 {{math|''R''('''''H''''', '''''x''''')}} と一致する。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|数域|en|Numerical range}}
* {{仮リンク|ミニマックス定理|en|min-max theorem}}
* [[シュレディンガー方程式]] — <math>E = \langle \psi | \hat{H} | \psi \rangle / \langle \psi | \psi \rangle </math>

==出典==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book|first1= R. A. |last1=Horn |first2=C. A. |last2=Johnson |year=1985 |title=Matrix Analysis |publisher=Cambridge University Press|ref=harv}}
* {{cite journal|first=B. N. |last=Parlet |title=The symmetric eigenvalue problem|publisher=SIAM |journal=Classics in Applied Mathematics |year=1998 |ref=harv}}
* {{cite book|first1=Shi |last1=Yu |first2=Léon-Charles |last2=Tranchevent |first3=Bart |last3=Moor |first4=Yves |last4=Moreau |title=Kernel-based Data Fusion for Machine Learning: Methods and Applications in Bioinformatics and Text Mining|url=https://books.google.com/books?id=U6-ubGYgf7QC |chapter=Chapter 2 Rayleigh Quotient Type Problems in Machine Learning |publisher=Springer |date= 2011-3-26 |isbn=9783642194054 |harv=ref}}

{{DEFAULTSORT:れいりいしよう}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:ジョン・ウィリアム・ストラット]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]