レスターの定理のソースを表示

[[File:Lester theorem.svg|thumb|right|400px|緑色の三角形の[[フェルマー点]] <math>X_{13},X_{14}</math>、 [[九点円]]（薄い青の円）の中心 <math>X_5</math>、[[外心]] <math>X_3</math> はレスター円（黒い円）上にある。]]

[[平面幾何学]]における'''レスターの定理'''（レスターのていり、''Lester's theorem''）は、任意の[[不等辺三角形]]において[[外心]]・[[九点円]]の中心・2つの[[フェルマー点]]の4点が同一円上にあるという定理である。

この定理の名称は1997年{{r|lester}}に論文を発表したジューン・レスターに由来する。この4点を通る円は Clark Kimberling（[[:en:Clark Kimberling|英語]]）によって'''レスター円'''（Lester Circle）と命名されている{{r|kimberling}}。

レスターはこの定理を[[複素数]]を用いて証明しているが、のちに[[初等幾何学]]を用いた証明{{r|shail|rigby|scott|duff}}、ベクトルを用いた証明{{r|dolan}}、コンピュータによる証明{{r|trott}}が発表されている。

== レスター円 ==
レスター円は、[[不等辺三角形]]の[[外心]]・[[九点円]]の中心・2つの[[フェルマー点]]の4点を通る円である。Clark Kimberling によって命名された。また、氏のサイト「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」ではX(1116)として登録されている<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-16}}</ref>。

中心の[[重心座標]]は、以下の式で表される。
: <math>f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)</math>
: <math>f(a,b,c) = (b^2 - c^2)(2(a^2 - b^2)(c^2 - a^2) + 3R^2(2a^2 - b^2 - c^2) - a^2(a^2 + b^2 + c^2) + a^4 + b^4 + c^4)</math>
ここで、<math>a, b, c</math> は3辺の長さ、<math>R</math>は[[外接円]]の半径である。

[[二等辺三角形]]の場合、4点が同一直線上に来るためこの円は定義できない。

== 拡張 ==
Paul Yiu によれば、Bernard Gibert　は2000年にこの定理の拡張となる以下の事実を発表している{{r|yiu}}。
: 直径の両端が[[キーペルト双曲線]]上にあり、かつその直径が[[オイラー線]]と直交する円は、2つのフェルマー点を通る。

Dao Thanh Oai は、[[直角双曲線]]を利用したさらなる一般化を発表した{{r|ThanhOai}}。
: 直角双曲線上に以下の点を定義する
:* H と G は双曲線の同じ側にある点である。
:* F{{sub|+}} と F{{sub|-}} は、その点における双曲線の接線が HG と平行になる点である。2点は双曲線の中心に対して対称の位置にある。
:* K{{sub|+}} と K{{sub|-}} は、その点における双曲線の接線が HG 上の点 E を通る点である。
: K{{sub|+}}K{{sub|-}} とHG の交点を D とし、DE の[[垂直二等分線]]と双曲線の交点を G{{sub|+}}, G{{sub|-}} とする。6点 D, E, F{{sub|+}}, F{{sub|-}}, G{{sub|+}}, G{{sub|-}} は[[共円]]である。

== 参照 ==
{{reflist|refs=

<ref name=dolan>{{citation
 | last = Dolan | first = Stan
 | doi = 10.1017/S0025557200182117
 | issue = 522
 | journal = The Mathematical Gazette
 | jstor = 40378420
 | pages = 469–480
 | title = Man versus computer
 | volume = 91
 | year = 2007}}</ref>

<ref name=duff>{{citation
 | last = Duff | first = Michael
 | doi = 10.1017/S0025557200178581
 | issue = 516
 | journal = The Mathematical Gazette
 | pages = 505–506
 | title = A short projective proof of Lester's theorem
 | volume = 89
 | year = 2005}}</ref>

<ref name=kimberling>{{citation
 | last = Kimberling | first = Clark | authorlink = Clark Kimberling
 | issue = 1
 | pages = 26 | journal = The Mathematics Teacher
 | jstor = 27969621
 | title = Lester circle
 | volume = 89
 | year = 1996}}</ref>

<ref name=lester>{{citation
 | last = Lester | first = June A.
 | doi = 10.1007/BF02215963
 | issue = 1–2
 | journal = [[Aequationes Mathematicae]]
 | mr = 1436263
 | pages = 4–35
 | title = Triangles. III. Complex triangle functions
 | volume = 53
 | year = 1997}}</ref>

<ref name=rigby>{{citation
 | last = Rigby | first = John
 | doi = 10.1017/S0025557200173620
 | issue = 510
 | journal = The Mathematical Gazette
 | jstor = 3621279
 | pages = 444–452
 | title = A simple proof of Lester's theorem
 | volume = 87
 | year = 2003}}</ref>

<ref name=scott>{{citation
 | last = Scott | first = J. A.
 | issue = 510
 | journal = The Mathematical Gazette
 | jstor = 3621308
 | pages = 553–566
 | title = Two more proofs of Lester's theorem
 | volume = 87
 | year = 2003| doi = 10.1017/S0025557200173917
 }}</ref>

<ref name=shail>{{citation
 | last = Shail | first = Ron
 | doi = 10.2307/3622007
 | issue = 503
 | pages = 226–232
 | journal = The Mathematical Gazette
 | title = A proof of Lester's theorem
 | volume = 85
 | year = 2001| jstor = 3622007
 }}</ref>

<ref name=trott>{{citation
 | last = Trott | first = Michael
 | issue = 1
 | journal = Mathematica in Education and Research
 | pages = 15–28
 | title = Applying GroebnerBasis to three problems in geometry
 | url = http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/1754/
 | volume = 6
 | year = 1997}}</ref>

<ref name=yiu>{{citation
| last = Yiu | first = Paul
| journal = Forum Geometricorum
| issue = 10
| title = The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations
| pages = 175-209
| year = 2010
| url = https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf
}}</ref>

<ref name=ThanhOai>{{citation
| last = Thanh Oai | first = Dao
| journal = Forum Geometricorum
| issue = 14
| title = A Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem
| pages = 123-125
| year = 2014
| url = https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201410.pdf
}}</ref>

}}

== 外部リンク ==
*{{mathworld|id=LesterCircle|title=Lester Circle}}

{{DEFAULTSORT:れすたあのていり}}
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]
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