レスラー方程式のソースを表示

[[File:RosslerstdXY.png|thumb|''xy''位相平面におけるレスラー・アトラクタの軌道（''a'' = 0.2、''b'' = 0.2、''c'' = 5.7）]]
'''レスラー方程式'''（レスラーほうていしき、Rössler equation）とは、[[3次元]]の[[連続時間]][[力学系]]の一種。次のような[[自励系]]の3変数連立[[常微分方程式]]で示される{{Sfn|合原|2011|p=46}}{{Sfn|Rössler|1976-2|p=1668}}。
:<math>
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -y-z 
\\ \frac{dy}{dt} = x+ay 
\\ \frac{dz}{dt} = b+xz-cz 
\end{cases}</math>
ここで、''t''：[[連続時間]]（[[独立変数]]）、''x''、''y''、''z''：''t'' の[[従属変数]]、''a''、''b''、''c''は[[定数]]（パラメータ）。'''レスラー系'''とも呼ばれる{{Sfn|Strogatz|2015|p=411}}。

[[西ドイツ]]の化学者[[オットー・レスラー]]により、1976年の論文 "''An equation for continuous chaos''" で最初に提唱された{{Sfn|Rössler|1976-1}}{{Sfn|合原|1990|p=72}}。レスラーは、1963年に[[アメリカ]]の気象学者[[エドワード・ローレンツ]]が発表した[[ローレンツ方程式]]の[[カオス理論|カオス]]に触発され、ローレンツ方程式をより単純化した方程式からカオスが生み出されることを考察するために導入した{{Sfn|Rössler|1976-1|p=397}}。ローレンツ方程式は[[気体]]の[[熱対流]]の[[計算モデル]]から方程式を導いたのに対して{{Sfn|下條|1992|p=116}}、レスラー方程式は実在の物理現象をベースにせずカオスの研究のために作為的に導入されたものである{{Sfn|合原|1990|p=72}}。

カオスが発生するには、[[力学系]]は必ず[[非線形性]]を持つ必要があり{{Sfn|井上|1997|p=56}}、なおかつ連続時間力学系の場合は3変数以上が必要になる{{Sfn|井上|1997|p=55}}。レスラー方程式の非線形項は第3式目の ''xz'' のみとなっており、カオスを発生させる連続時間力学系の中でも非常に単純な非線形しか持たない点が特筆される{{Sfn|合原|2011|p=46}}。

==軌道==
[[File:Rosslerstd3D.png|thumb|3次元空間のレスラー・アトラクタの軌道]]
[[File:Bifurcation DiagramB.png|thumb|分岐図の例。''a'' = 0.2、''c'' = 5.7で固定し、''b''を変化させていったときの分岐を示す。]]
レスラー方程式は特定のパラメータの範囲で[[ストレンジアトラクター]]を持つ。特に、パラメータ ''a'' = 0.2、''b'' = 0.2、''c'' = 5.7 はレスラーにより最初に導入されたときのパラメータ値で{{Sfn|Rössler|1976-1}}、このパラメータ値のときのストレンジアトラクターは'''レスラー・アトラクタ'''（Rössler attractor）として良く知られている{{Sfn|小室|2005|pp=46&ndash;48}}。このアトラクタの形は、[[メビウスの帯]]のような、リボンを一回ひねって両端を合わせた形になっている{{Sfn|下條|1992|p=72}}。

[[分岐 (力学系)|分岐]]は、パラメータが3つあるため組合せが複雑だが、[[周期倍分岐]]や[[サドルノード分岐]]などが発生する{{Sfn|小室|2005|pp=138&ndash;139}}。例えば、''c'' = 2.5 では、系のアトラクタは[[リミットサイクル]]となる{{Sfn|Strogatz|2015|p=411}}。''a'' と ''c'' をレスラー・アトラクタの値で固定し、''b'' を変化させていったときの[[分岐図 (力学系)|分岐図]]を右図に示す。図右側の[[不動点]]から始まって、[[周期点]]の倍加（[[周期倍分岐]]）を経て、カオス（赤線で塗り潰された範囲）に至っている。[[ロジスティック写像]]と同じように、カオスに至った後にも ''b'' を減少させていくと、カオス領域から、サドルノード分岐により窓と呼ばれる周期点の領域の分岐する{{Sfn|小室|2005|pp=138&ndash;139}}。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

==参考文献==
*{{Cite journal  
|author=O.E.Rössler
|title=An equation for continuous chaos 
|journal=Physics Letters
|volume=57A
|issue=5
|year=1976 
|pages=397-398
|ref= {{Sfnref|Rössler|1976-1}} 
}}
*{{Cite journal  
|author=O.E.Rössler
|title=Different types of chaos in two simple differential equations
|journal=Zeitschrift für Naturforsch
|volume=31a
|issue=5
|year=1976 
|pages=1664-1670
|ref= {{Sfnref|Rössler|1976-2}} 
}}
*{{cite book ja-jp 
|title=カオス時系列解析の基礎と応用
|editor=合原一幸
|publisher=産業図書
|year=2011
|edition=第4刷 
|isbn= 978-4-7828-1010-1
|ref= {{Sfnref|合原|2011}}
}}
*{{cite book ja-jp 
|author=下條隆嗣 
|title=カオス力学入門　―古典力学からカオス力学へ
|series=シミュレーション物理学6
|publisher=近代科学社
|year=1992
|edition=初版 
|isbn=4-7649-2005-0
|ref={{Sfnref|下條|1992}}
}}
*{{cite book ja-jp 
|title=基礎からの力学系 -分岐解析からカオス的遍歴へ- 
|author=小室元政
|publisher=サイエンス社 
|year=2005 
|edition=新版 
|isbn= 4-7819-1118-8 
|ref= {{Sfnref|小室|2005}} 
}}
*{{cite book ja-jp 
|title=カオス ―カオス理論の基礎と応用
|editor=合原一幸
|publisher=サイエンス社 
|year=1990
|edition=初版
|isbn= 4-7819-0592-7
|ref= {{Sfnref|合原|1990}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author=井上政義
|title=やさしくわかるカオスと複雑系の科学
|year=1997
|edition=初版
|publisher=日本実業出版社
|isbn =4-53402492-4
|ref ={{Sfnref|井上|1997}}
}}
*{{cite book ja-jp 
|author=Steven H. Strogatz
|translator=田中久陽・中尾裕也・千葉逸人
|title=ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで
|publisher=丸善出版
|year=2015
|isbn=978-4-621-08580-6
|ref={{Sfnref|Strogatz|2015}}
}}

==外部リンク==
*{{Commonscat-inline}}
*{{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Rossler_attractor |title=Rossler attractor |date=20061229085955}} - [[スカラーペディア]]百科事典「レスラー方程式」の項目。

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[[Category:カオス力学系]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]