レムニスケート周率のソースを表示

'''レムニスケート周率'''（レムニスケートしゅうりつ、{{lang-en-short|lemniscate constant}}）とは、[[円周率]]の、[[ベルヌーイのレムニスケート]]における対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が深く研究したとされる。
==数学的な記述==
通常は、[[ギリシャ文字]]のパイの小文字 {{mvar|&pi;}} の異字体 {{math|''&piv;''}}（オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形）で表され、実際の数値は、
:{{math|''&piv;'' {{=}} 2.622057554292119810464839589891...}}({{OEIS|A062539}})
（小数点以下30桁まで）である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの[[周長]]は、（[[円 (数学)|円]]の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に）レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、[[楕円積分#第一種完全楕円積分|第一種完全楕円積分]]で表され、[[無理数]]でもあり、[[超越数]]でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

:<math>\varpi=2\int_{0}^{1} \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}=\sqrt 2 K\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{\Gamma \left(\frac14 \right)^2}{2^{3/2}\pi^{1/2}}</math>

ただし、ここで {{mvar|r}} は、レムニスケートの[[極座標]]表示

:<math>r^2=\cos 2\theta\, </math>

の {{mvar|r}} である。

なお、これと対比して、円周率 {{mvar|&pi;}} は、次の式で求めることができる。
:<math>\pi=2\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}</math>

また、円周率に関する[[フランソワ・ビエト#ビエトの公式|ビエトの式]]：
<math display="block">
\frac2\pi = \sqrt\frac12 \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12} \cdot \sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt{\frac12 + \frac12\sqrt\frac12}} \cdots
</math>

に倣って、次式のような表現も可能である<ref>{{cite journal |last1=Levin |first1=Aaron |title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant |journal=The American Mathematical Monthly |date=2006 |volume=113 |issue=6 |pages=510–520 |doi=10.2307/27641976 }}</ref>：

<math display="block">
\frac2\varpi = \sqrt\frac12 \cdot \sqrt{\frac12 +  \frac12 \bigg/ \!\sqrt\frac12} \cdot \sqrt{\frac12 +  \frac12 \Bigg/ \!\sqrt{\frac12 +  \frac12 \bigg/ \!\sqrt\frac12}} \cdots
</math>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Lemniscate Constant|urlname=LemniscateConstant}}

{{DEFAULTSORT:れむにすけえとしゆうりつ}}
[[Category:超越数]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:曲線]]
[[Category:カール・フリードリヒ・ガウス]]
[[Category:数学に関する記事]]