レムニスケート周率

レムニスケート周率（レムニスケートしゅうりつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、円周率の、ベルヌーイのレムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にカール・フリードリヒ・ガウスが深く研究したとされる。

数学的な記述

通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 テンプレート:Mvar の異字体 テンプレート:Math（オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形）で表され、実際の数値は、

テンプレート:Math(テンプレート:OEIS)

（小数点以下30桁まで）である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、（円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に）レムニスケート周率の倍の値となる。

レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。

すなわち、次の式により求めることができる。

$\varpi =2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}=\sqrt{2}K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{2^{3/2}{\pi }^{1/2}}$

ただし、ここで テンプレート:Mvar は、レムニスケートの極座標表示

$r^2=\cos 2\theta$

の テンプレート:Mvar である。

なお、これと対比して、円周率 テンプレート:Mvar は、次の式で求めることができる。

$\pi =2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

また、円周率に関するビエトの式： $$\frac{2}{\pi }=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots$$

に倣って、次式のような表現も可能である：

$$\frac{2}{\varpi }=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}/\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}/\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}/\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots$$

外部リンク

• テンプレート:MathWorld