ベルヌーイのレムニスケート

ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点

ベルヌーイのレムニスケートは、直角双曲線の垂足曲線である。

正弦波螺旋
(テンプレート:Math) の極座標系のグラフと対応する直交座標系におけるグラフ。テンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-lineテンプレート:Legend-line

ベルヌーイのレムニスケート（テンプレート:Lang-en-short）は極座標の方程式

$r^2=a^2\cos 2\theta$

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。

直交座標の方程式では

$(x^2+y^2{)}^2-a^2(x^2-y^2)=0$

となる。

レムニスケートはヤコブ・ベルヌーイによって1694年に最初に発見され、イタリアの数学者テンプレート:仮リンクによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

性質

• カッシーニの卵形線の特殊例と見なすことができる。
• x軸、y軸に対して線対称である。
• 原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線は y=±x となる。原点Oと $\pm \sqrt{2}a$ でx軸と交わる。
• 点 テンプレート:Math は、レムニスケートの焦点と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「当該任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定値 テンプレート:Math となる。
• 直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。
• 中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。
• ループ1つで囲まれる面積は テンプレート:Math であり、2つ合わせて テンプレート:Math となる。
• 区間 $0\le \theta \le \phi$ における曲線の弧長は第一種楕円積分を用いて $\frac{a}{\sqrt{2}}F(\phi ,\frac{1}{\sqrt{2}})$ と表される。これにより、曲線の全周長は $\sqrt{8}aK\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\varpi a$ となる。ここで テンプレート:Math はレムニスケート周率と呼ばれ、テンプレート:Mvar を円の半径、レムニスケート周率を円周率と見立てれば、全周長の式は円の周長の式と合致することとなる。
• 極座標の偏角 テンプレート:Mvar の点における法線とx軸との成す角は、テンプレート:Math となる。

関連項目

• レムニスケート
• レムニスケート周率
• テンプレート:仮リンク
• ∞

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MacTutor テンプレート:En icon
• "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables テンプレート:Fr icon
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli テンプレート:Fr icon