正弦波螺旋

代数幾何学における正弦波螺旋（せいげんはらせん、テンプレート:Lang-en-short）は、次の極座標系の等式で定義される曲線の族である。

r^{n} = a^{n} \cos (n θ)

ここでテンプレート:Mvarは0でない定数で、テンプレート:Mvarは0でない有理数。原点中心で回転することで、次の式でも書くことができる。

r^{n} = a^{n} \sin (n θ) .

螺旋（渦巻）の形をしていないのにもかかわらず、螺旋と称される。正弦波螺旋は多くの有名な曲線を含んでいる。

コリン・マクローリンによって最初に研究された。

等式

r^{n} = a^{n} \cos (n θ)

を微分してテンプレート:Mvarを取り除くことで、テンプレート:Mvarに関する微分方程式を作ることができる。

\frac{d r}{d θ} \cos n θ + r \sin n θ = 0 .

したがって、

(\frac{d r}{d s}, r \frac{d θ}{d s}) \cos n θ \frac{d s}{d θ} = (- r \sin n θ, r \cos n θ) = r (- \sin n θ, \cos n θ)

ψ = n θ \pm π / 2

で表され、接角が、

φ = (n + 1) θ \pm π / 2 .

であることを意味する（複号はテンプレート:Mvarとテンプレート:Mathが同符号なら正、異符号なら負をとる）。

(\frac{d r}{d s}, r \frac{d θ}{d s}),

であるため、上記のベクトルと大きさを比べると次の式を得る。

\frac{d s}{d θ} = r \cos^{- 1} n θ = a \cos^{- 1 + \frac{1}{n}} n θ .

$n > 0$ ならば、特に一つのループの長さは次のように表現できる。

a \int_{- \frac{π}{2 n}}^{\frac{π}{2 n}} \cos^{- 1 + \frac{1}{n}} n θ d θ

曲率は次の式で与えられる。

\frac{d φ}{d s} = (n + 1) \frac{d θ}{d s} = \frac{n + 1}{a} \cos^{1 - \frac{1}{n}} n θ .

原点を中心に持つ円による、正弦波螺旋のテンプレート:仮リンクは、テンプレート:Mvarを元の曲線の反数に置き換えたものとなる。例えば、ベルヌーイのレムニスケートは直角双曲線になる。

正弦波曲線の、Isopticテンプレート:Enlink曲線、垂足曲線及び負垂足曲線は、異なる正弦波螺旋になる。

rのべき乗に比例する中心力によって動く粒子の経路は正弦波螺旋である。

テンプレート:Mvarが整数で、テンプレート:Mvar点が半径テンプレート:Mvarの円に規則正しく配置されているとき、点からn点までの距離の幾何平均の集合は正弦波螺旋である。特にテンプレート:仮リンクである。