カッシーニの卵形線

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、テンプレート:Lang-en）は、直交座標の方程式 $(x^{2} + y^{2})^{2} - 2 b^{2} (x^{2} - y^{2}) - (a^{4} - b^{4}) = 0$ によって表されるテンプレート:仮リンクである^[1]。

性質

x軸、y軸に対して線対称である。

(\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0), (\pm \sqrt{- a^{2} + b^{2}}, 0)

の4点でx軸と交わる。

(\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0), (0, 0)

の3点でx軸と交わる。

(\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, 0)

の2点でx軸と交わる。

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が $a^{2}$ であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち $\sqrt{(x + b)^{2} + y^{2}} \sqrt{(x - b)^{2} + y^{2}} = a^{2}$ となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。