レヴィ–プロホロフ計量のソースを表示

[[数学]]の分野における'''レヴィ–プロホロフ計量'''（レヴィ–プロホロフけいりょう、{{Lang-en-short|Lévy–Prokhorov metric}}）とは、与えられた[[距離空間]]上の[[確率測度]]の系の上の[[距離函数|計量]]のことを言う（すなわち、間隔の定義である）。[[フランス]]の[[数学者]][[ポール・レヴィ (数学者)|ポール・レヴィ]]と、[[ソビエト連邦|ソヴィエト]]の数学者{{仮リンク|ユリ・プロホロフ|en|Yuri Vasilevich Prokhorov}}の名にちなむ。[[レヴィ計量]]の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。

== 定義 ==
<math>(M, d)</math> を、[[ボレル完全加法族]] <math>\mathcal{B} (M)</math> を備える[[距離空間]]とする。[[可測空間]] <math>(M, \mathcal{B} (M))</math> 上の全ての[[確率測度]]の系を <math>\mathcal{P} (M)</math> で表す。

[[部分集合]] <math>A \subseteq M</math> に対し、その{{仮リンク|ε-近傍|en|epsilon-neighborhood}}を
:<math>A^{\varepsilon} := \{ p \in M ~|~ \exists q \in A, \ d(p, q) < \varepsilon \} = \bigcup_{p \in A} B_{\varepsilon} (p) </math>
で定義する。ここで <math>B_{\varepsilon} (p)</math> は <math>p</math> を中心とする半径 <math>\varepsilon</math> の[[球|開球]]とする。

'''レヴィ–プロホロフ計量''' <math>\pi : \mathcal{P} (M)^{2} \to [0, + \infty)</math> は、二つの確率測度 <math>\mu</math> と <math>\nu</math> の間の距離を
:<math>\pi (\mu, \nu) := \inf \left\{ \varepsilon > 0 ~|~ \mu(A) \leq \nu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{and} \ \nu (A) \leq \mu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{for all} \ A \in \mathcal{B}(M) \right\} </math>
と定めることによって、定義される。

確率測度に対して <math>\pi (\mu, \nu) \le 1</math> が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、[[開集合|開]]あるいは[[閉集合|閉]]のいずれかである <math>A</math> のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

== 性質 ==
* <math>(M, d)</math> が[[可分空間|可分]]であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束は{{仮リンク|測度の弱収束|en|weak convergence of measures}}と同値である。したがって、<math>\pi</math> は弱収束の位相の[[距離化定理|距離化]]である。
* 距離空間 <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> が[[可分空間|可分]]であるための[[必要十分条件]]は <math>(M, d)</math> が可分であることである。
* <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> が[[完備距離空間|完備]]であるなら <math>(M, d)</math> も完備である。<math>\mathcal{P} (M)</math> に含まれる全ての測度が可分な[[台 (測度論)|台]]を持つなら、その逆も成立する。すなわち、<math>(M, d)</math> が完備であるなら <math>\left( \mathcal{P} (M), \pi \right)</math> も完備となる。
* <math>(M, d)</math> が可分かつ完備であるなら、部分集合 <math>\mathcal{K} \subseteq \mathcal{P} (M)</math> が[[相対コンパクト部分空間|相対コンパクト]]であることと、その <math>\pi</math>-閉包が <math>\pi</math>-コンパクトであることは同値である。

== 関連項目 ==
* [[レヴィ計量]]
* [[ワッサースタイン計量]]

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Convergence of Probability Measures | publisher=John Wiley & Sons, Inc., New York | year=1999 | isbn=0-471-19745-9 | oclc=41238534}}
* {{SpringerEOM|title=Lévy–Prokhorov metric|author=Zolotarev, V.M.|urlname=Lévy–Prokhorov_metric}}

{{DEFAULTSORT:れういふろほろふけいりよう}}
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