レヴィ＝チヴィタ体のソースを表示

[[数学]]における'''レヴィ＝チヴィタ体'''（レヴィ-チヴィタたい、{{lang-en-short|''Levi-Civita field''}}）は、[[トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ]]に名を因む、[[非アルキメデス順序体]]&mdash;ある種の無限大量と無限小量を含む数体系&mdash;である。レヴィ＝チヴィタ体の各元は[[有理数]]全てを亙る変数 {{mvar|q}} に対する[[実数|実]]係数の形式級数 <math display="block">\sum_{q\in\mathbb{Q}} a_q\varepsilon^q \quad(a_q\in\R)</math>
として与えられる。ここに、{{mathbf|ℚ}} は有理数全体の成す集合を表し、{{mvar|ε}} は正の無限小と解釈されるべきものである。
ただし、係数列 {{mvar|a}} の[[関数の台|台]] {{math|{{mset|''q'' ∈ '''ℚ''' | ''a{{sub|q}}'' ≠ 0}}}} は左有限集合&mdash;任意の有理数に対し、それより小さい元は有限個しか含まない&mdash;でなければならない。この制約条件はこの体における乗法および除法が一意に[[well-defined|定義可能]]であるようにするために必要である。この体における順序関係は、係数列に対する[[辞書式順序]]に従って定められ、これは直観的には {{mvar|ε}} を無限小とするという仮定をおくことと同値である。

[[実数]]全体の成す順序体 {{mathbf|ℝ}} は、定数項のみからなる級数&mdash;{{math|''a''{{sub|0}}}} 以外の全ての係数が {{math|0}} の級数&mdash;としてレヴィ＝チヴィタ体に埋め込まれる。

== 無限小を含む元の例 ==
* {{math|7''ε''}} はそれ自身無限小で、無限小 {{mvar|ε}} より大きいが、任意の正実数より小さい。
* {{math|''ε''{{exp|2}}}} は {{mvar|ε}} よりも小さい無限小で、任意の実数 {{mvar|r}} に対する {{mvar|r&sdot;ε}} よりも小さい。
* {{math|1 + ''ε''}} は {{math|1}} と無限小だけしか違わない。
* {{math|''ε''{{exp|1/2}}}} は {{mvar|ε}} よりも大きいが、やはり任意の正実数より小さい。
* {{math|1/''ε''}} は任意の実数より大きい。
* 無限和 {{math|1 + ''ε'' + {{sfrac|1|2}}''ε''{{exp|2}} + ⋯ + {{sfrac|1|''n''!}}''ε{{exp|n}}'' + ⋯}} は {{math|1=''[[ネイピア数|e]]{{exp|ε}}'' = [[指数函数|exp]](''ε'')}} と解釈される。
* 無限和 {{math|1 + ''ε'' + 2&sdot;''ε''{{exp|2}} + ⋯ + ''n''!&sdot;''ε{{exp|n}}'' + ⋯}} はレヴィ＝チヴィタ体の元として意味を為す。これは各元が形式級数&mdash;つまり、[[収斂級数|収束性]]は問題にしない&mdash;として構成されていることによるものである。

== 拡張と応用 ==
レヴィ＝チヴィタ体に[[虚数単位]] {{mvar|i}} を添加して、あるいは係数を[[複素数]]に取り換えて、[[代数閉体]]にすることができる。得られた体は十分な解析学を行うのに十分な豊かな体系となるが、それでも実数を[[浮動小数点数]]として表せるというのと同じ意味において各元を計算機に乗せることができる。この体は、記号的微分法や有限差分法による微分が困難であるような場合の微分操作に威力を発揮する[[自動微分]]の基本となる<ref>Khodr Shamseddine, Martin Berz "[http://www2.physics.umanitoba.ca/u/khodr/Publications/RS-Overview-offprints.pdf Analysis on the Levi-Civita Field: A Brief Overview]", ''Contemporary Mathematics'', '''508''' pp 215-237 (2010)</ref>。

実係数および値群 {{mathbf|ℚ}} を持つ{{ill2|ハーン級数|en|Hahn series}} は台 {{math|{{mset|''q'' ∈ '''ℚ''' | ''a{{sub|q}}'' ≠ 0}}}} が左有限であるという条件を[[整列集合]]である&mdash;つまり、無限減少列は存在しない&mdash;という条件に緩めたもので、その全体はレヴィ＝チヴィタ体よりも大きな体を成す。この体では例えば、{{math|1 + ''ε''{{exp|1/2}} + ''ε''{{exp|2/3}} + ''ε''{{exp|3/4}} + ''ε''{{exp|4/5}} + ⋯}} のような元が意味を持つが、これはレヴィ＝チヴィタ体の元ではない。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://www.lightandmatter.com/calc/inf/ A web-based calculator for Levi-Civita numbers]

{{Infinitesimals}}
{{Number systems}}
{{DEFAULTSORT:れゐちゐたたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:無限小解析]]
[[Category:数学に関する記事]]