レーマン表示のソースを表示

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'''レーマン表示'''（{{lang-en-short|Lehmann representation}}）とは、[[場の理論]]における2点[[グリーン関数]](1粒子グリーン関数)の[[スペクトル表示]]([[積分表示]])のことを指す。

== 例 ==
2点[[因果グリーン関数]]、2点[[遅延グリーン関数]]、2点[[先進グリーン関数]]の[[フーリエ変換]]を<math>G^{\mp}_{AB}(\omega), G^{R\mp}_{AB}(\omega), G^{A\mp}_{AB}(\omega)</math>とすると、次のようなレーマン表示が成り立つ<ref>{{cite book | 和書 | author=西川恭治, 森弘之 | title=[[統計物理学]] ([[朝倉物理学大系]]) | year=2000 | publisher=[[朝倉書店]] | isbn=4254136803 }}</ref>。

:<math>\begin{align}
G^{\mp}_{AB}(\omega) &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}  \Bigg[ \frac{1}{\omega -\omega '+i\eta} \mp \frac{e^{-\beta \hbar \omega'}}{\omega -\omega'-i\eta} \Bigg] S_{AB}(\omega')d\omega' \\
&= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}  \Bigg[ \frac{1}{\omega -\omega '+i\eta} \mp \frac{e^{-\beta \hbar \omega'}}{\omega -\omega'-i\eta} \Bigg] (1\mp e^{-\beta\hbar\omega'})^{-1}   \rho^{\pm}_{AB}(\omega ') d\omega' \\
&= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}  \Bigg[ {\rm P}\frac{1}{\omega -\omega'} -i\pi \Bigg\{ \tanh\Big(\frac{\beta\hbar\omega'}{2}\Big)\Bigg\}^{\mp1}\delta(\omega-\omega') \Bigg] \rho^{\pm}_{AB}(\omega ') d\omega'
\end{align}</math>
:<math>G^{R\mp}_{AB}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} \frac{\rho^{\pm}_{AB}(\omega ')}{\omega -\omega '+i\eta}d\omega'</math>
:<math>G^{A\mp}_{AB}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} \frac{\rho^{\pm}_{AB}(\omega ')}{\omega -\omega '-i\eta}d\omega'</math>

ここで<math>S_{AB}(\omega)</math>は<math>S_{AB}(t,t')=\langle A(t)B(t')\rangle</math>のフーリエ変換である。<math>\rho^{\pm}_{AB}(\omega)</math>は<math>\rho^{\pm}_{AB}(t,t')=\langle [A(t),B(t')]_{\mp}\rangle</math>のフーリエ変換であり、[[スペクトル関数]]と呼ばれる。

== 参考文献 ==
<references />

{{デフォルトソート:れえまんひようし}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:物理学のエポニム]]