レーマン表示

レーマン表示（テンプレート:Lang-en-short）とは、場の理論における2点グリーン関数(1粒子グリーン関数)のスペクトル表示(積分表示)のことを指す。

例

2点因果グリーン関数、2点遅延グリーン関数、2点先進グリーン関数のフーリエ変換を$G_{AB}^{\mp }(\omega ),G_{AB}^{R\mp }(\omega ),G_{AB}^{A\mp }(\omega )$とすると、次のようなレーマン表示が成り立つ。

$\begin{array}{cc}{G}_{AB}^{\mp }(\omega )& =\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{\omega -{\omega }^{\prime }+i\eta }\mp \frac{e^{-\beta \hslash {\omega }^{\prime }}}{\omega -{\omega }^{\prime }-i\eta }]S_{AB}({\omega }^{\prime })d{\omega }^{\prime }\\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{\omega -{\omega }^{\prime }+i\eta }\mp \frac{e^{-\beta \hslash {\omega }^{\prime }}}{\omega -{\omega }^{\prime }-i\eta }](1\mp e^{-\beta \hslash {\omega }^{\prime }}{)}^{-1}{\rho }_{AB}^{\pm }({\omega }^{\prime })d{\omega }^{\prime }\\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\mathrm{P}\frac{1}{\omega -{\omega }^{\prime }}-i\pi \{\tanh \left(\frac{\beta \hslash {\omega }^{\prime }}{2}\right){\}}^{\mp 1}\delta (\omega -{\omega }^{\prime })]{\rho }_{AB}^{\pm }({\omega }^{\prime })d{\omega }^{\prime }\end{array}$

$G_{AB}^{R\mp }(\omega )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\rho }_{AB}^{\pm }({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }+i\eta }d{\omega }^{\prime }$

$G_{AB}^{A\mp }(\omega )=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\rho }_{AB}^{\pm }({\omega }^{\prime })}{\omega -{\omega }^{\prime }-i\eta }d{\omega }^{\prime }$

ここで$S_{AB}(\omega )$は$S_{AB}(t,t^{\prime })=⟨A(t)B(t^{\prime })⟩$のフーリエ変換である。${\rho }_{AB}^{\pm }(\omega )$は${\rho }_{AB}^{\pm }(t,t^{\prime })=⟨[A(t),B(t^{\prime }){]}_{\mp }⟩$のフーリエ変換であり、スペクトル関数と呼ばれる。