レーマーの予想のソースを表示

{{for|τ(n) が 0 とならないことについてのレーマーの予想|ラマヌジャンのタウ函数}}
{{for|オイラーのトーシェント函数についてのレーマーの予想|{{仮リンク|Lehmer's totient problem|en|Lehmer's totient problem}}}}
{{正確性|date=2015年2月}}
'''レーマーの予想''' (Lehmer's conjecture)、'''レーマーのマーラー測度の問題'''(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、{{仮リンク|デリック・ヘンリー・レーマー|en|Derrick Henry Lehmer}}(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である<ref name=lmr>{{cite journal | zbl=0007.19904 | last=Lehmer | first=D.H. | authorlink=Derrick Henry Lehmer | title=Factorization of certain cyclotomic functions | journal=Ann. Math. (2) | volume=34 | pages=461–479 | year=1933 | issn=0003-486X | doi=10.2307/1968172 }}</ref>。この予想は、ある絶対的な定数 <math>\mu>1</math> が存在して、すべての整数係数の多項式 <math>P(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

* <math>P(x)</math> の[[マーラー測度]] <math>\mathcal{M}(P(x))</math> は <math>\mu</math> より大きいかまたは等しい。

* <math>P(x)</math> は、円分多項式もしくは単項式 <math>x</math> の積の整数倍である。この場合は <math>\mathcal{M}(P(x))=1</math> である。（同じことであるが、<math>P(x)</math> のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 <math>P(x)</math> を <math>\mathbb{C}</math> 上分解して
:<math>P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D)</math>
とし、
:<math>\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|)</math>
と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、'''レーマーの多項式'''
:<math>P(x)= x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1</math>
のマーラー測度であり、これは[[サレム数]](Salem number)<ref>{{cite book | last=Borwein | first=Peter | authorlink=Peter Borwein | title=Computational Excursions in Analysis and Number Theory | series=CMS Books in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=0-387-95444-9 | zbl=1020.12001 | page=16 }}</ref>
:<math>\mathcal{M}(P(x))=1.176280818\dots</math>
である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の <math>\mu=1.176280818\dots</math> であると広く信じられている<ref name=S234>Smyth (2008) p.324</ref><ref name=EPSW30>{{cite book | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=Recurrence sequences | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=30 }}</ref>。
<!---There are a number of definitions of the Mahler measure, one of which is to factor <math>P(x)</math> over <math>\mathbb{C}</math> as

:<math>P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D),</math>

and then set

:<math>\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|).</math>

The smallest known Mahler measure (greater than 1) is for "Lehmer's polynomial"

:<math>P(x)= x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1 \,,</math>

for which the Mahler measure is the [[Salem number]]<ref>{{cite book | last=Borwein | first=Peter | authorlink=Peter Borwein | title=Computational Excursions in Analysis and Number Theory | series=CMS Books in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=0-387-95444-9 | zbl=1020.12001 | page=16 }}</ref>

:<math>\mathcal{M}(P(x))=1.176280818\dots \ .</math>

It is widely believed that this example represents the true minimal value: that is, <math>\mu=1.176280818\dots</math> in Lehmer's conjecture.<ref name=S234>Smyth (2008) p.324</ref><ref name=EPSW30>{{cite book | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=Recurrence sequences | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=30 }}</ref>-->

== 動機 ==
一変数の[[マーラー測度]]を考える。[[イエンセンの公式]]は、<math>P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D)</math> であれば、
:<math>\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|)</math>
であることを示している。（このパラグラフを通して、<math>m(P)=\log(\mathcal{M}(P(x))</math> と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、<math>P</math> が整数係数の多項式であれば、<math>\mathcal{M}(P)</math> が 1 以上の[[代数的数]]であり、従って、<math>m(P)\ge0</math> は代数的整数の対数であることを示している。また、もし <math>m(P)=0</math> であれば、<math>P</math> は、[[円分多項式]]、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、<math>x</math> の単項式、つまり、ある <math>n</math> に対してべき <math>x^n</math> の積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 <math>P</math> に対する整数列 <math>\Delta_n=\text{Res}(P(x), x^n-1)=\prod^D_{i=1}(\alpha_i^n-1)</math> の研究の中で、<math>m(P)=0</math> が重要な数値であることに気づいた<ref name=lmr></ref><ref>David Boyd (1981). "Speculations concerning the range of Mahler's measure" Canad. Math. Bull. Vol. 24(4)</ref>。もし <math>P</math> が円の上で 0 とならない場合は <math>\lim|\Delta_n|^{1/n}=\mathcal{M}(P)</math> であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。
:<math>P</math> が非円分的なとき、<math>m(P)>c</math> となるような定数 <math>c>0</math> が存在するかどうか？
あるいは、
:<math>c>0</math> が与えられた場合、<math> 0<m(P)<c </math> となる整数係数の <math>P</math> が存在するかどうか？
以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。
<!--== Motivation ==
Consider Mahler measure for one variable and [[Jensen's formula]] shows that if <math>P(x)=a_0 (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_D)</math> then  
:<math>\mathcal{M}(P(x)) = |a_0| \prod_{i=1}^{D} \max(1,|\alpha_i|).</math>
In this paragraph denote　<math>m(P)=\log(\mathcal{M}(P(x))</math> , which is also called [[Mahler measure]].

If <math>P</math> has integer coefficients, this shows that <math>\mathcal{M}(P)</math> is an [[algebraic number]] so <math>m(P)</math> is the logarithm of an algebraic integer. It also shows that <math>m(P)\ge0</math> and that if <math>m(P)=0</math> then <math>P</math> is a product of [[cyclotomic polynomial]]s i.e. monic polynomials whose all roots are roots of unity, or a monomial of <math>x</math> i.e. a power <math>x^n</math> for some <math>n</math> .

Lehmer noticed<ref name=lmr></ref><ref>David Boyd (1981). "Speculations concerning the range of Mahler's measure" Canad. Math. Bull. Vol. 24(4)</ref> that <math>m(P)=0</math> is an important value in the study of the integer sequences <math>\Delta_n=\text{Res}(P(x), x^n-1)=\prod^D_{i=1}(\alpha_i^n-1)</math> for monic <math>P</math> . If <math>P</math> does not vanish on the circle then <math>\lim|\Delta_n|^{1/n}=\mathcal{M}(P)</math> and this statement might be true even if  <math>P</math> does vanish on the circle. By this he was led to ask
:whether there is a constant <math>c>0</math> such that <math>m(P)>c</math> provided <math>P</math> is not cyclotomic?,
or
:given <math>c>0</math>, are there <math>P</math> with integer coefficients for which <math> 0<m(P)<c </math>?
Some positive answers have been provided as follows, but Lehmer's conjecture is not yet completely proved and is still a question of much interest.-->

==部分的結果==

<math>P(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> を次数 <math>D</math> の既約モニック多項式とする。スミス <ref>{{cite journal | first=C. J. | last=Smyth | title=On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=3 | year=1971 | pages=169–175 | zbl=1139.11002 | doi=10.1112/blms/3.2.169}}</ref> は、自己[[相反多項式]]でない、つまり、
:<math>x^DP(x^{-1})\ne P(x)</math>
であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)と[[ヒュー・モンゴメリー]](Montgomery)は、<ref>{{cite journal | first1=P. E. | last1=Blanksby | first2=H. L. | last2=Montgomery | author2-link=Hugh Montgomery (mathematician) | title=Algebraic integers near the unit circle | journal=Acta Arith. | volume=18 | year=1971 | pages=355–369 | zbl=0221.12003 }}</ref> で、ステワート(Stewart)<ref>{{cite journal | first=C. L. | last=Stewart | title=Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle | journal=Bull. Soc. Math. France | volume=106 | year=1978 | pages=169–176 }}</ref>とは独立に、絶対的な定数 <math>C>1</math> が存在し、<math>\mathcal{M}(P(x))=1</math> かまたは、:<math>\log\mathcal{M}(P(x))\ge \frac{C}{D\log D}</math> を満たすことを証明した<ref name=S235>Smyth (2008) p.325</ref>。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski) <ref>{{cite journal | first=E. | last=Dobrowolski | title=On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial | journal=Acta Arith. | volume=34 | year=1979 | pages=391–401 }}</ref> はこの結果を改善し
:<math>\log\mathcal{M}(P(x))\ge C\left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3</math>
とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている<ref name=S326>Smyth (2008) p.326</ref>。
<!---==Partial Results==

Let <math>P(x)\in\mathbb{Z}[x]</math> be an irreducible monic polynomial of degree <math>D</math>.

Smyth <ref>{{cite journal | first=C. J. | last=Smyth | title=On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=3 | year=1971 | pages=169–175 | zbl=1139.11002 | doi=10.1112/blms/3.2.169}}</ref> proved that Lehmer's conjecture is true for all polynomials that are not [[Reciprocal polynomial|reciprocal]], i.e., all polynomials satisfying <math>x^DP(x^{-1})\ne P(x)</math>.

Blanksby and [[Hugh Montgomery (mathematician)|Montgomery]]<ref>{{cite journal | first1=P. E. | last1=Blanksby | first2=H. L. | last2=Montgomery | author2-link=Hugh Montgomery (mathematician) | title=Algebraic integers near the unit circle | journal=Acta Arith. | volume=18 | year=1971 | pages=355–369 | zbl=0221.12003 }}</ref> and Stewart<ref>{{cite journal | first=C. L. | last=Stewart | title=Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle | journal=Bull. Soc. Math. France | volume=106 | year=1978 | pages=169–176 }}</ref> independently proved that there is an absolute constant <math>C>1</math> such that either <math>\mathcal{M}(P(x))=1</math> or<ref name=S235>Smyth (2008) p.325</ref>

:<math>\log\mathcal{M}(P(x))\ge \frac{C}{D\log D}. </math>

Dobrowolski <ref>{{cite journal | first=E. | last=Dobrowolski | title=On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial | journal=Acta Arith. | volume=34 | year=1979 | pages=391–401 }}</ref> improved this to 

:<math>\log\mathcal{M}(P(x))\ge C\left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3.</math>

Dobrowolski obtained the value ''C'' ≥ 1/1200 and asymptotically C > 1-ε for all sufficiently large ''D''.  Voutier obtained ''C'' ≥ 1/4 for ''D'' ≥ 2.<ref name=S326>Smyth (2008) p.326</ref>-->

==楕円の類似==

<math>E/K</math> を数体 <math>K</math> で定義された[[楕円曲線]]とし、<math>\hat{h}_E:E(\bar{K})\to\mathbb{R}</math> を[[標準的高さ]]（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 <math>(\deg P)^{-1}\log\mathcal{M}(P(x))</math> の楕円曲線の類似である。この高さについては、<math>\hat{h}_E(Q)=0</math> であることと、<math>Q</math> が <math>E(\bar{K})</math> の中で[[捩れ (代数)|捩れ点]](torsion point)であることとは同値である。'''楕円レーマー予想'''(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 <math>C(E/K)>0</math> が存在し、すべての捩れのない点 <math>Q\in E(\bar{K})</math> に対して、
:<math>\hat{h}_E(Q) \ge \frac{C(E/K)}{D}</math>
となるという予想である。ここに <math>D=[K(Q):K]</math> とする。楕円曲線 E が[[虚数乗法]]を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、
:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D} \left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3</math>
となる<ref name=S327>Smyth (2008) p.327</ref>。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果<ref name=S327/>は、[[ダヴィッド・マッサー]](David Masser)による
:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^3(\log D)^2}</math>
という結果である<ref>{{cite journal | zbl=0723.14026 | last=Masser | first=D.W. | authorlink=David Masser | title=Counting points of small height on elliptic curves | journal=Bull. Soc. Math. Fr. | volume=117 | number=2 | pages=247–265 | year=1989 }}</ref>。非整数の [[j-不変量]]を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて<ref name=S327/>、ヒンドリー(Hindry)と{{仮リンク|ジョゼフ・シルバーマン|en|Joseph H. Silverman}}(Joseph H. Silverman)による
:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^2(\log D)^2}</math>
という結果がある<ref>{{cite book | zbl=0741.14013 | last1=Hindry | first1=Marc | last2=Silverman | first2=Joseph H. | author2-link=Joseph_H._Silverman | chapter=On Lehmer's conjecture for elliptic curves | title=Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89 | series=Prog. Math. | volume=91 | pages=103–116 | year=1990 | editor-last=Goldstein | editor-first=Catherine | isbn=0-8176-3493-2 }}</ref>。
<!---==Elliptic Analogues==

Let <math>E/K</math> be an [[elliptic curve]] defined over a number field <math>K</math>, and let <math>\hat{h}_E:E(\bar{K})\to\mathbb{R}</math> be the [[canonical height]] function. The canonical height is the analogue for elliptic curves of the function <math>(\deg P)^{-1}\log\mathcal{M}(P(x))</math>. It has the property that <math>\hat{h}_E(Q)=0</math> if and only if <math>Q</math> is a [[torsion point]] in <math>E(\bar{K})</math>. The '''elliptic Lehmer conjecture''' asserts that there is a constant <math>C(E/K)>0</math> such that

:<math>\hat{h}_E(Q) \ge \frac{C(E/K)}{D}</math> for all non-torsion points <math>Q\in E(\bar{K})</math>,

where <math>D=[K(Q):K]</math>. If the elliptic curve ''E'' has [[complex multiplication]], then the analogue of Dobrowolski's result holds:

:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D} \left(\frac{\log\log D}{\log D}\right)^3 ,</math>

due to Laurent.<ref name=S327>Smyth (2008) p.327</ref> For arbitrary elliptic curves, the best known result is<ref name=S327/>

:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^3(\log D)^2},</math>

due to [[David Masser|Masser]].<ref>{{cite journal | zbl=0723.14026 | last=Masser | first=D.W. | authorlink=David Masser | title=Counting points of small height on elliptic curves | journal=Bull. Soc. Math. Fr. | volume=117 | number=2 | pages=247–265 | year=1989 }}</ref> For elliptic curves with non-integral [[j-invariant]], this has been improved to<ref name=S327/>

:<math>\hat{h}_E(Q) \ge  \frac{C(E/K)}{D^2(\log D)^2},</math>

by Hindry and [[Joseph H. Silverman|Silverman]].<ref>{{cite book | zbl=0741.14013 | last1=Hindry | first1=Marc | last2=Silverman | first2=Joseph H. | author2-link=Joseph_H._Silverman | chapter=On Lehmer's conjecture for elliptic curves | title=Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89 | series=Prog. Math. | volume=91 | pages=103–116 | year=1990 | editor-last=Goldstein | editor-first=Catherine | isbn=0-8176-3493-2 }}</ref>-->

==制限付きの結果==
より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、
:<math>M(P) \ge M(x^3 -x - 1) \approx 1.3247 </math>
となり、これは明らかに最良の場合である<ref name=S328>Smyth (2008) p.328</ref>。さらに、''P'' の係数がすべて奇数であれば<ref name=S329/>、
:<math>M(P) \ge M(x^2 -x - 1) \approx 1.618</math>
となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 '''Q'''(α) が '''Q'''の[[ガロア拡大]]であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ<ref name=S329>Smyth (2008) p.329</ref>。
<!---==Restricted results==
Stronger results are known for restricted classes of polynomials or algebraic numbers.

If ''P''(''x'') is not reciprocal then 

:<math>M(P) \ge M(x^3 -x - 1) \approx 1.3247 </math>

and this is clearly best possible.<ref name=S328>Smyth (2008) p.328</ref>  If further all the coefficients of ''P'' are odd then<ref name=S329/>

:<math>M(P) \ge M(x^2 -x - 1) \approx 1.618 . </math>

If the field '''Q'''(α) is a [[Galois extension]] of '''Q''' then Lehmer's conjecture holds.<ref name=S329>Smyth (2008) p.329</ref>-->

==参考文献==
{{Reflist}}
* {{cite book | first=Chris | last=Smyth | chapter=The Mahler measure of algebraic numbers: a survey | pages=322–349 | editor1-first=James | editor1-last=McKee | editor2-last=Smyth | editor2-first=Chris | title=Number Theory and Polynomials | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | volume=352 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2008 | isbn=978-0-521-71467-9 }}

==外部リンク==
*http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ is a nice reference about the problem.
*{{MathWorld|urlname=LehmersMahlerMeasureProblem|title=Lehmer's Mahler Measure Problem}}

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