ロワの恒等式のソースを表示

'''ロワの恒等式'''（ロワのこうとうしき、{{Lang-en-short|Roy's identity}}, [[フランス]]の[[経済学者]]、{{仮リンク|ルネ・ロワ (経済学者)|label=ルネ・ロワ|en|René Roy|fr|René Roy (économiste)}}にちなむ）は、{{仮リンク|消費者選択|en|consumer choice}}理論および{{仮リンク|企業理論|en|theory of the firm}}に応用を持つ[[ミクロ経済学]]の主結果の一つである。この等式（[[補題]]）は{{仮リンク|マーシャル型需要関数|en|Marshallian demand function}}と{{仮リンク|間接効用関数|en|indirect utility function}}の[[偏微分|偏導関数]]とを結びつける。特に、間接効用関数が <math>v(p,w)</math> であるとき、財 <math>i</math> のマーシャル型需要関数は

:<math>x_{i}^{m}=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_{i}}}{\frac{\partial v}{\partial w}}</math>

と計算できる。ここで <math>p</math> は各財の価格ベクトルであり、<math>w</math> は[[所得]]を表す<ref>{{cite book |first=Hal |last=Varian |authorlink=Hal Varian |title=Microeconomic Analysis |location=New York |publisher=Norton |edition=Third |year=1992 |isbn= |pages=106–108 |url=https://books.google.com/books?id=m20iQAAACAAJ&pg=PA106 }}</ref>。

== 導出 ==
ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 (<math>i</math>) についての需要関数を得るために{{仮リンク|シェパードの補題|en|Shephard's lemma}}を書き直したものである。

まず、間接効用関数 <math>v (p, w)</math> の変数である[[富]]ないし所得 <math>w</math> に、{{仮リンク|支出関数|en|Expenditure function}}（expenditure function）を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで[[効用]]は <math>u</math> で表している：

:<math>v ( p, e(p, u)) = u </math>

この等式は、価格の一覧（価格ベクトル <math>p</math>）と、その価格の下で効用 <math>u</math> を得るために必要な最小限の支出 <math>e(p, u)</math> に対して、得られる効用（間接効用関数の返り値）は <math>u</math> である、という意味である。

（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格 <math>p_i</math> で偏微分すると

:<math>\frac{ \partial v [p, e(p,u)]}{\partial w} \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} + \frac{\partial v [p, e(p,u)]}{\partial p_i} = 0</math>

となる。これを変形すると

:<math>-\frac{\frac{\partial v [p, e(p,u)]}{\partial p_i}}{\frac{\partial v [p, e(p,u)]}{\partial w}}=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}=h_i(p, u)=x_i(p, e(p,u))</math>

最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号は{{仮リンク|ヒックス型需要関数|en|Hicksian demand function}}の基本的な性質から従う。

== （微分可能な場合の）別証明 ==
ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある<ref>{{cite book |first=Richard |last=Cornes |title=Duality and Modern Economics |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1992 |isbn=0-521-33291-5 |pages=45–47 |url=https://books.google.com/books?id=HO8zAAAAIAAJ&pg=PA45 }}</ref>。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。

間接効用関数 <math>v(p_{1},p_{2},w)</math> は、次の[[ラグランジュの未定乗数法|ラグランジュの関数]]

:<math>\mathcal{L}=u(x_{1},x_{2})+\lambda(w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}) </math>

で特徴づけられるような、制約条件付き[[最適化問題|最大化問題]]の目的関数なのだから、{{仮リンク|包絡線定理|en|Envelope theorem}}より、目的関数 <math>v(p_{1},p_{2},w)</math> のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は

:<math>\frac{\partial v}{\partial p_{1}}=-\lambda x_{1}^{m} </math>

:<math>\frac{\partial v}{\partial w}=\lambda </math>

のように計算できる。この <math>x_{1}^{m}</math> が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式

:<math>-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v}{\partial w}}=-\frac{-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda}=x_{1}^{m} </math>

が得られる。

== 応用 ==
この恒等式は、消費者の間接効用関数が与えられたとき、ある財に対するマーシャル型需要関数を導く一法を与えるものである。また、[[スルツキー方程式]]を導出する基礎にもなっている。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite journal |last=Roy |first=René |year=1947 |title=La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens |journal=[[Econometrica]] |volume=15 |issue=3 |pages=205–225 |jstor=1905479 }}

{{DEFAULTSORT:ろわのこうとうしき}}
[[Category:効用]]
[[Category:消費者理論]]
[[Category:ミクロ経済学]]
[[Category:経済学のエポニム]]