ロワの恒等式

ロワの恒等式（ロワのこうとうしき、テンプレート:Lang-en-short, フランスの経済学者、テンプレート:仮リンクにちなむ）は、テンプレート:仮リンク理論およびテンプレート:仮リンクに応用を持つミクロ経済学の主結果の一つである。この等式（補題）はテンプレート:仮リンクとテンプレート:仮リンクの偏導関数とを結びつける。特に、間接効用関数が $v(p,w)$ であるとき、財 $i$ のマーシャル型需要関数は

$x_i^m=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_i}}{\frac{\partial v}{\partial w}}$

と計算できる。ここで $p$ は各財の価格ベクトルであり、$w$ は所得を表す。

導出

ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 ($i$) についての需要関数を得るためにテンプレート:仮リンクを書き直したものである。

まず、間接効用関数 $v(p,w)$ の変数である富ないし所得 $w$ に、テンプレート:仮リンク（expenditure function）を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用は $u$ で表している：

$v(p,e(p,u))=u$

この等式は、価格の一覧（価格ベクトル $p$）と、その価格の下で効用 $u$ を得るために必要な最小限の支出 $e(p,u)$ に対して、得られる効用（間接効用関数の返り値）は $u$ である、という意味である。

（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格 $p_i$ で偏微分すると

$\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}+\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}=0$

となる。これを変形すると

$-\frac{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}}{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}=h_i(p,u)=x_i(p,e(p,u))$

最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はテンプレート:仮リンクの基本的な性質から従う。

（微分可能な場合の）別証明

ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。

間接効用関数 $v(p_1,p_2,w)$ は、次のラグランジュの関数

$ℒ=u(x_1,x_2)+\lambda (w-p_1{x}_1-p_2{x}_2)$

で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、テンプレート:仮リンクより、目的関数 $v(p_1,p_2,w)$ のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は

$\frac{\partial v}{\partial p_1}=-\lambda x_1^m$

$\frac{\partial v}{\partial w}=\lambda$

のように計算できる。この $x_1^m$ が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式

$-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_1}}{\frac{\partial v}{\partial w}}=-\frac{-\lambda x_1^m}{\lambda }=x_1^m$

が得られる。

応用

この恒等式は、消費者の間接効用関数が与えられたとき、ある財に対するマーシャル型需要関数を導く一法を与えるものである。また、スルツキー方程式を導出する基礎にもなっている。

参考文献

• テンプレート:Cite journal