ローブ空間のソースを表示

数学における'''ローブ空間'''（{{lang-en-short|Loeb space}}）は[[超準解析]]に基づき{{仮リンク|ピーター・A・ローブ|en|Peter A. Loeb}}（1975）によって導入された[[測度空間]]の一種である。

==構成==
ローブの構成では、はじめに内的[[集合体]] <math>\mathcal{A}</math> から超準実数 <math>{}^{\ast}\mathbb{R}</math> への内的有限加法的測度 <math>\nu</math> を考える。<math>\mu</math> を <math>\nu</math> の標準部を与える写像と定義することで、<math>\mu</math> は <math>\mathcal{A}</math> から拡張実数 <math>\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}</math> への有限加法的測度となる。たとえ <math>\mathcal{A}</math> が超準的な [[σ-代数]]だとしても、<math>\mathcal{A}</math> は一般には可算和で閉じないので、通常の意味でのσ-代数になるとは限らない。その代わりに、代数 <math>\mathcal{A}</math>  は「<math>\mathcal{A}</math> の元が <math>\mathcal{A}</math>  の元の可算族の和集合であるならば、その集合は実際にはその族の有限個の元の和集合である」という性質を持ち、したがってとくに、<math>\mathcal{A}</math>  から拡張実数へのいかなる有限加法的写像（例えば <math>\mu</math> ）も自動的に可算加法的となる。いま <math>\mathcal{M}</math> を <math>\mathcal{A}</math>  で生成されるσ-代数とする。[[カラテオドリの拡張定理]]より、<math>\mathcal{A}</math>  上の測度 <math>\mu</math> は <math>\mathcal{M}</math> 上の可算加法的測度に拡張される。これをローブ測度と呼ぶ。これをさらに[[完備測度|完備化]]したものもローブ測度と呼ぶ。

==例==
<math>\Omega</math> を超有限集合とし、<math>\mathcal{A}={}^{\ast}\mathcal{P}(\Omega)</math> を <math>\Omega</math> の内的部分集合全体の成す集合（＊冪集合）とする。このとき、内的な有限加法的確率測度（数え上げ測度） <math>\mu\colon \mathcal{A} \to {}^{\ast}[0, 1]</math> が
: <math>\mu(A) := |A| / |\Omega|</math>
で定まる。これをもとに作られたローブ測度を <math>L(\mu)</math> で表す。このとき <math>(\Omega, \mathcal{M}, L(\mu))</math> は[[確率空間]]を成す。

いま <math>\Omega</math> として <math>\{i/N \mid i=0,1,\ldots, N\}</math> なる超有限集合を考える。ここで <math>N</math> は無限大超自然数である。また <math>\mathrm{st}\colon \Omega \to \mathbb{R}</math> を標準部関数（有限超実数をそれと無限に近い実数に写す）とする。このとき <math>A\subseteq [0, 1]</math> が[[ルベーグ可測]]であることと、<math>\mathrm{st}^{-1}(A) \subseteq \Omega</math> がローブ可測であることとは同値であり、
: <math>\lambda(A) = L(\mu)(\mathrm{st}^{-1}(A)) </math>
が成り立つ。ここで左辺の <math>\lambda</math> は[[ルベーグ測度]]である。

==参考文献==

*{{Citation | last1=Cutland | first1=Nigel J. | title=Loeb measures in practice: recent advances | doi=10.1007/b76881 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-41384-4 |mr=1810844 | year=2000 | volume=1751}}
*{{Citation | last1=Goldblatt | first1=Robert | title=Lectures on the hyperreals | url=https://books.google.com/books?id=TII-PX_OdloC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98464-3 |mr=1643950 | year=1998 | volume=188 | doi=10.1007/978-1-4612-0615-6}}
*{{cite journal |last=Loeb |first=Peter A. |title=Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory |jstor=1997222 |mr=0390154 |year=1975 |journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |issn=0002-9947 |volume=211 |pages=113–22 |doi=10.2307/1997222 |via=[[JSTOR]] |doi-access=free }}

==外部リンク==

*[http://www.math.uiuc.edu/~loeb/ Home page of Peter Loeb]


{{DEFAULTSORT:ろおふくうかん}}
[[Category:測度論]]
[[Category:超準解析]]