ローブ空間

数学におけるローブ空間（テンプレート:Lang-en-short）は超準解析に基づきテンプレート:仮リンク（1975）によって導入された測度空間の一種である。

構成

ローブの構成では、はじめに内的集合体 $𝒜$ から超準実数 ${}^{\ast }ℝ$ への内的有限加法的測度 $\nu$ を考える。$\mu$ を $\nu$ の標準部を与える写像と定義することで、$\mu$ は $𝒜$ から拡張実数 $ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ への有限加法的測度となる。たとえ $𝒜$ が超準的な σ-代数だとしても、$𝒜$ は一般には可算和で閉じないので、通常の意味でのσ-代数になるとは限らない。その代わりに、代数 $𝒜$ は「$𝒜$ の元が $𝒜$ の元の可算族の和集合であるならば、その集合は実際にはその族の有限個の元の和集合である」という性質を持ち、したがってとくに、$𝒜$ から拡張実数へのいかなる有限加法的写像（例えば $\mu$ ）も自動的に可算加法的となる。いま $ℳ$ を $𝒜$ で生成されるσ-代数とする。カラテオドリの拡張定理より、$𝒜$ 上の測度 $\mu$ は $ℳ$ 上の可算加法的測度に拡張される。これをローブ測度と呼ぶ。これをさらに完備化したものもローブ測度と呼ぶ。

例

$\mathrm{\Omega }$ を超有限集合とし、$𝒜={}^{\ast }𝒫(\mathrm{\Omega })$ を $\mathrm{\Omega }$ の内的部分集合全体の成す集合（＊冪集合）とする。このとき、内的な有限加法的確率測度（数え上げ測度） $\mu :𝒜\to {}^{\ast }[0,1]$ が

$\mu (A):=|A|/|\mathrm{\Omega }|$

で定まる。これをもとに作られたローブ測度を $L(\mu )$ で表す。このとき $(\mathrm{\Omega },ℳ,L(\mu ))$ は確率空間を成す。

いま $\mathrm{\Omega }$ として $\{i/N\mid i=0,1,\dots ,N\}$ なる超有限集合を考える。ここで $N$ は無限大超自然数である。また $\mathrm{s}\mathrm{t}:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ を標準部関数（有限超実数をそれと無限に近い実数に写す）とする。このとき $A\subseteq [0,1]$ がルベーグ可測であることと、${\mathrm{s}\mathrm{t}}^{-1}(A)\subseteq \mathrm{\Omega }$ がローブ可測であることとは同値であり、

$\lambda (A)=L(\mu )({\mathrm{s}\mathrm{t}}^{-1}(A))$

が成り立つ。ここで左辺の $\lambda$ はルベーグ測度である。

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Cite journal

外部リンク

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