ローレンツ力のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年12月11日 (日) 04:26 (UTC)}}
'''ローレンツ力'''（ローレンツりょく、{{lang-en-short|Lorentz force}}）は、[[電磁場]]中で運動する[[荷電粒子]]が受ける[[力 (物理学)|力]]のことである。
名前は[[ヘンドリック・ローレンツ]]に由来する。

== 概要 ==
[[電場]] <math>\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{x})</math> と[[磁束密度]]（[[磁場]]） <math>\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{x})</math> の空間中を運動する荷電粒子（位置 <math>\boldsymbol{r}(t)</math>、[[速度]] <math>\boldsymbol{v}(t)</math>、[[電荷]] <math>q</math>）に作用する電磁気的な力 <math>\boldsymbol{F}(t)</math> は
:<math>\boldsymbol{F}(t) = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) + q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t))
 = q \big\{ \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r}(t)) + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r}(t)) \big\}</math>
であり、この <math>\boldsymbol{F}</math> を'''ローレンツ力'''と言う。ここで、「×」は[[ベクトル積]]である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力であり[[クーロン力]]とも呼ばれる。
第二項は{{要検証範囲|[[ビオ・サバールの法則]]を一般化した形となっている|date=2021年7月}}。

なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力
<!-- \boldsymbol{\mathit{F}} = --> 
:<math>q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}</math>
であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。
<!-- 荷電粒子の電荷・速度 ''q'' '''''v''''' と[[磁場]] '''''B''''' の[[クロス積]] が'''ローレンツ力''' '''''F''''' であることは、 -->

荷電粒子が加速度運動している場合<!--（ローレンツ力によっても加速度運動となっている）←そうとは限らない-->、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが{{要校閲|date=2021年7月}}、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる{{疑問点|date=2021年7月}}。
（参考: [[制動放射]]、[[ラーモアの公式]] 放射の反作用、[[:en:Abraham–Lorentz force]]）

== ローレンツ力の向き ==
ローレンツ力の向きについて、電場による力<math>(q\boldsymbol{E})</math>は電場と平行である。
また、磁場による力<math>(q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})</math>は[[右手の法則]]に従い、下図のように[[フレミングの左手の法則]]で表される。

[[Image:Fleming's_Left_Hand_Rule.png|thumb|right|180px|磁場による力の向きを表す[[フレミングの左手の法則]]]]
[[File:Regla mano derecha Laplace.svg|right|thumb|180px|右手の姿で示す方法]]

また、右手の姿で示す方法もある。

== ローレンツ力と仕事 ==
ローレンツ力のする仕事は
:<math> \mathrm{d}W = \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{E} +\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} </math>
である。
ここで、磁場による力の項は、
:<math> \mathrm{d}W_{\mathrm{m}} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t
 = 0 </math>
であり、磁場は仕事をしない。

電場による力の項は、
:<math> \mathrm{d}W_{\mathrm{e}} = q \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = q \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{v} ~ \mathrm{d}t 
 = w\, \mathrm{d}t </math>
である。この電場による仕事量は、巨視的に見ると[[ジュール熱]]に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

== ローレンツ力と電磁力 ==
電荷 ''q<sub>i</sub>'' の時刻 ''t'' における位置を '''''r'''<sub>i</sub>(t)''、速度を '''''v'''<sub>i</sub>(t)'' とすると、[[電荷密度]] ''&rho;''、[[電流密度]] '''''j''''' は、
:<math>\begin{align}
\rho(t, \boldsymbol{x})
 &= \sum_i q_i \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t)) \\
\boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x})
 &= \sum_i q_i \boldsymbol{v}_i(t) \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
\end{align}</math>
と表すことができる。&delta;(''x'')は[[ディラックのデルタ関数]]である。

ローレンツ力'''''F'''''は多数の粒子系に対しては
:<math>\boldsymbol{F}(t)
 = \sum_i q_i \left(
 \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 + \boldsymbol{v}_i(t) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 \right)</math>
となる。ここで、電場'''''E'''''と磁束密度'''''B'''''を
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 &= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
 \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x}) \\
\boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{r}_i(t))
 &= \int \mathrm{d}^3x\, \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{r}_i(t))
 \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
\end{align}</math>
として、和と積分を入れ替えると、
:<math>\boldsymbol{F}(t)
 = \int \mathrm{d}^3x\, \left(
 \rho(t, \boldsymbol{x}) \boldsymbol{E}(t, \boldsymbol{x})
 + \boldsymbol{j}(t, \boldsymbol{x}) \times \boldsymbol{B}(t, \boldsymbol{x})
 \right)</math>
このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

== 相対論的な表示 ==
ローレンツ力を[[相対性理論|相対論的]]に記述すると
:<math>\dot{p}_\mu = -q\dot{X}^\nu F_{\nu\mu}(X)</math>
となる。
ここで {{math|1= ''X'' = (''ct'', {{mvar|'''r'''}})}} は粒子の相対論的な位置、{{math|1= ''p'' = (''E''/''c'', {{mvar|'''p'''}})}} は粒子の相対論的な[[4元運動量]]、ドットは運動のパラメータによる微分である。
{{mvar|F}} は電場と磁場を合わせた[[電磁場テンソル]]で、その成分は具体的に
:<math>(F_{01}, F_{02}, F_{03}) =(-E_1/c, -E_2/c, -E_3/c),~
(F_{23}, F_{31}, F_{12}) =(B_1, B_2, B_3)</math>
と表される。

位置の微分は非相対論的な速度 {{mvar|'''v'''}} によって
:<math>\dot{X}^\mu = (c\dot{t}, \dot{t}\boldsymbol{v})</math>
と表される。
従って、この式の空間成分は
:<math>\dot{\boldsymbol{p}} =q\dot{t} \boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
 +q\dot{t}\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})</math>
となる。非相対論的な力 {{mvar|'''f'''}} は
:<math>\boldsymbol{f} =\frac{d\boldsymbol{p}}{dt}
 = \frac{\dot{\boldsymbol{p}}}{\dot{t}}
 = q\boldsymbol{E}(t,\boldsymbol{r})
 +q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}(t,\boldsymbol{r})</math>
となる。

== 関連項目 ==
* [[マクスウェルの方程式]]
* [[フレミング左手の法則]]
* [[電磁気学]]

{{電磁気学}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ろおれんつりよく}}
[[Category:電磁気学]]
[[Category:力 (自然科学)]]
[[Category:ヘンドリック・ローレンツ|りよく]]
[[Category:物理学のエポニム]]