ローレンツ力

テンプレート:出典の明記 ローレンツ力（ローレンツりょく、テンプレート:Lang-en-short）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。 名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。

概要

電場 $𝑬(t,𝒙)$ と磁束密度（磁場） $𝑩(t,𝒙)$ の空間中を運動する荷電粒子（位置 $𝒓(t)$、速度 $𝒗(t)$、電荷 $q$）に作用する電磁気的な力 $𝑭(t)$ は

$𝑭(t)=q𝑬(t,𝒓(t))+q𝒗\times 𝑩(t,𝒓(t))=q\{𝑬(t,𝒓(t))+𝒗\times 𝑩(t,𝒓(t))\}$

であり、この $𝑭$ をローレンツ力と言う。ここで、「×」はベクトル積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。 第二項はテンプレート:要検証範囲。

なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力

$q𝒗\times 𝑩$

であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。

荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するがテンプレート:要校閲、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われるテンプレート:疑問点。 （参考: 制動放射、ラーモアの公式 放射の反作用、en:Abraham–Lorentz force）

ローレンツ力の向き

ローレンツ力の向きについて、電場による力$(q𝑬)$は電場と平行である。 また、磁場による力$(q𝒗\times 𝑩)$は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。

磁場による力の向きを表すフレミングの左手の法則

右手の姿で示す方法

また、右手の姿で示す方法もある。

ローレンツ力と仕事

ローレンツ力のする仕事は

$\mathrm{d}W=𝑭\cdot \mathrm{d}𝒓=q(𝑬+𝒗\times 𝑩)\cdot \mathrm{d}𝒓$

である。 ここで、磁場による力の項は、

$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{m}}=q(𝒗\times 𝑩)\cdot \mathrm{d}𝒓=q(𝒗\times 𝑩)\cdot 𝒗\mathrm{d}t=0$

であり、磁場は仕事をしない。

電場による力の項は、

$\mathrm{d}{W}_{\mathrm{e}}=q𝑬\cdot \mathrm{d}𝒓=q𝑬\cdot 𝒗\mathrm{d}t=w\mathrm{d}t$

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

ローレンツ力と電磁力

電荷 q_i の時刻 t における位置を r_i(t)、速度を v_i(t) とすると、電荷密度 ρ、電流密度 j は、

$\begin{array}{cc}\rho (t,𝒙)& =\sum _i{q}_i\delta (𝒙-{𝒓}_i(t))\\ 𝒋(t,𝒙)& =\sum _i{q}_i{𝒗}_i(t)\delta (𝒙-{𝒓}_i(t))\end{array}$

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては

$𝑭(t)=\sum _i{q}_i(𝑬(t,{𝒓}_i(t))+{𝒗}_i(t)\times 𝑩(t,{𝒓}_i(t)))$

となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを

$\begin{array}{cc}𝑬(t,{𝒓}_i(t))& =\int {\mathrm{d}}^{3}x\delta (𝒙-{𝒓}_i(t))𝑬(t,𝒙)\\ 𝑩(t,{𝒓}_i(t))& =\int {\mathrm{d}}^{3}x\delta (𝒙-{𝒓}_i(t))𝑩(t,𝒙)\end{array}$

として、和と積分を入れ替えると、

$𝑭(t)=\int {\mathrm{d}}^{3}x(\rho (t,𝒙)𝑬(t,𝒙)+𝒋(t,𝒙)\times 𝑩(t,𝒙))$

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

相対論的な表示

ローレンツ力を相対論的に記述すると

${\dot{p}}_{\mu }=-q{\dot{X}}^{\nu }{F}_{\nu \mu }(X)$

となる。 ここで テンプレート:Math は粒子の相対論的な位置、テンプレート:Math は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。 テンプレート:Mvar は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に

$(F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_1/c,-E_2/c,-E_3/c),(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_1,B_2,B_3)$

と表される。

位置の微分は非相対論的な速度 テンプレート:Mvar によって

${\dot{X}}^{\mu }=(c\dot{t},\dot{t}𝒗)$

と表される。 従って、この式の空間成分は

$\dot{𝒑}=q\dot{t}𝑬(t,𝒓)+q\dot{t}𝒗\times 𝑩(t,𝒓)$

となる。非相対論的な力 テンプレート:Mvar は

$𝒇=\frac{d𝒑}{dt}=\frac{\dot{𝒑}}{\dot{t}}=q𝑬(t,𝒓)+q𝒗\times 𝑩(t,𝒓)$

となる。

関連項目

• マクスウェルの方程式
• フレミング左手の法則
• 電磁気学