電磁場テンソル

電磁場テンソル（でんじばテンソル）とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。

定義

電磁場の強度（テンプレート:En）テンプレート:Mvar は二階のテンソル テンプレート:Indent と定義される。 ここで テンプレート:Mvar は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル テンプレート:Indent である。 また、微分も相対論的な4元ベクトル テンプレート:Indent である。

定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。 これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 テンプレート:Mvar と磁束密度 テンプレート:Mvar の各成分に対応する。 電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって テンプレート:Indent テンプレート:Indent と表される。 あるいは各成分毎に テンプレート:Indent テンプレート:Indent と書くことが出来る。 具体的には テンプレート:Indent テンプレート:Indent である。上付きの $F^{\mu \nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }{F}_{\rho \sigma }$ は テンプレート:Indent テンプレート:Indent となる。それぞれ行列の形で表せば テンプレート:Indent テンプレート:Indent となる。

双対テンソル

完全反対称テンソル テンプレート:Mvar を用いれば、電磁場の強度 テンプレート:Mvar に双対なテンソル テンプレート:Indent が定義される。 具体的には テンプレート:Indent テンプレート:Indent であり、行列の形で表せば テンプレート:Indent となる。

媒質中の電磁場

媒質中での電磁場を表す電束密度 テンプレート:Mvar と磁場の強度 テンプレート:Mvar は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル テンプレート:Mvar によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には テンプレート:Indent テンプレート:Indent である。このテンソル テンプレート:Mvar はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル テンプレート:Mvar は電磁場の強度 テンプレート:Mvar と テンプレート:Indent で関係付けられる。ここで テンプレート:Mvar は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 テンプレート:Mvar と磁化 テンプレート:Mvar である。 具体的には テンプレート:Indent テンプレート:Indent である。 サブ電磁テンソル テンプレート:Mvar と分極テンソル テンプレート:Mvar をそれぞれ行列の形で表せば テンプレート:Indent テンプレート:Indent である。

球座標表示

球面座標系 テンプレート:Math による4元ポテンシャルの成分表示は テンプレート:Indent であり、電磁場強度 テンプレート:Mvar として テンプレート:Indent が得られる。 平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において テンプレート:Indent テンプレート:Indent であり、電磁場強度の添え字を上げると テンプレート:Indent となる。

例えば、原点に点電荷 テンプレート:Mvar が存在するときの電磁場テンソルは テンプレート:Indent で表される。

マクスウェルの方程式

電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義からビアンキ恒等式 テンプレート:Indent が成り立つ。 双対テンソルを用いれば テンプレート:Indent と表すことも出来る。 この式は添え字 テンプレート:Math についての4つの方程式であり、それぞれ テンプレート:Indent テンプレート:Indent と対応する。

自由空間における電磁場の運動方程式は テンプレート:Indent と表される。 ここで テンプレート:Mvar は4元電流密度である。 この式は添え字 テンプレート:Math についての4つの方程式であり、それぞれ テンプレート:Indent テンプレート:Indent と対応する。

媒質中の運動方程式

媒質中の運動方程式は テンプレート:Indent と表される。 成分ごとにそれぞれ テンプレート:Indent テンプレート:Indent である。

ローレンツ力

電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。 相対論的な粒子の位置を テンプレート:Math で表すとき、電荷 テンプレート:Mvar を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は テンプレート:Indent となる。 ここで テンプレート:Mvar は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。 テンプレート:Main

一般相対論

時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、レヴィ・チヴィタ接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 テンプレート:Mvar は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため テンプレート:Indent となる。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は テンプレート:Indent であり、共変微分への置き換えが必要となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 電磁気学
• 特殊相対性理論
• テンソル
• マクスウェル方程式
• アインシュタインの縮約記法