ワイル方程式のソースを表示

[[場の量子論]]における、'''ワイル（ヴァイル）方程式'''（{{Llang|en|Weyl equation}}）は質量のない[[フェルミ粒子|フェルミオン]]を表す[[波動方程式]]である。[[ヘルマン・ワイル]]の名を冠している。

== 定義 ==
'''ワイル方程式'''は次のとおりである<ref>Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, {{ISBN2|978-0-13-146100-0}}</ref> <ref>The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN2|978-0-521-57507-2}}.</ref>。

: <math> \sigma^\mu\partial_\mu \psi=0</math>

これは明らかに[[国際単位系]]に従う：

: <math> I_2 \frac{1}{c}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \sigma_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \sigma_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \sigma_z\frac{\partial \psi}{\partial z}=0</math>

ここで、

: <math> \sigma_\mu = (\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)= (I_2,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)</math>

は、成分がμ = 0に対し2×2[[単位行列]]でμ = 1,2,3に対し[[パウリ行列]]である[[4元ベクトル|4次元ベクトル]]であって、ψはワイル表示[[スピノール]]の[[波動関数]]である。

=== [[ディラック場#ワイルスピノル|ワイルスピノール]] ===
要素 ψ<sub>''L''</sub>と ψ<sub>''R''</sub>は、相対的にそれぞれに対し右向きと左向きとして扱われる[[パウリ行列]]である。二つの要素が持つ形式は

: <math> \psi = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\end{pmatrix} = \chi e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}= \chi e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar}</math>であり

この時

: <math> \chi = \begin{pmatrix}
\chi_1 \\
\chi_2 \\
\end{pmatrix} </math>

は連続的な2成分スピノールである。

粒子が質量がないので、運動量'''ｐ'''の大きさは直接[[波数ベクトル]]'''ｋ'''に関連付けられる（これはドブロイ関係によって可能となる。)。

: <math> |\mathbf{p}| = \hbar |\mathbf{k}| = \hbar \omega /c \, \rightarrow \, |\mathbf{k}| = \omega /c </math>

この方程式は右手或いは左手スピノールの観点から次のように書ける。

: <math>\begin{align} & \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R = 0 \\
& \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = 0
\end{align}</math>

=== ヘリシティ ===
カイラル成分は粒子の[[ヘリシティー (素粒子)|ヘリシティ]]λに一致する（ '''J'''は[[角運動量]]で直線的運動量'''P'''上にある）。 

: <math>\mathbf{p}\cdot\mathbf{J}\left|\mathbf{p},\lambda\right\rangle=\lambda |\mathbf{p}|\left|\mathbf{p},\lambda\right\rangle</math>

ここで<math>\lambda=\pm 1/2</math>である。

== 誘導 ==
これは、[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー時空間]]における対称性につながる。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008,{{ISBN2|978-0-07-154382-8}}
* Particle Physics (2nd Edition), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008,{{ISBN2|978-0-470-03294-7}}
* Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010,{{ISBN2|978-0-07-163641-4}}
* The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007,{{ISBN2|0-679-77631-1}}

== 関連項目 ==
* [[ディラック方程式]]（質量を有するスピン1/2粒子について説明する。 )
* [[角運動量]]
* [[運動量]]
* [[スピン]]

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[[Category:場の量子論]]
[[Category:物理学の方程式]]