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'''ヴァン・オーベルの定理'''（Van Aubel's theorem）とは[[四角形]]に関する[[幾何学]]の定理である。[[1878年]]の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された<ref>{{citation|last=Van Aubel|first=H.|language=French|title=Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque|journal=Nouvelle Correspondance Mathématique|volume=4|pages=40–44|year=1878|url=https://books.google.com/books?id=10A0AQAAMAAJ&pg=PA40}}.</ref>。

オーベルの定理ともいう。
[[ファイル:Van-Aubel-theorem combined.svg|thumb|250px|ヴァン・オーベルの定理の図示。]]

== 定理 ==
任意の四角形の各辺に外接する[[正方形]]で、対向する正方形の[[重心]]を結んだ2[[線分]]は、長さが等しく、[[直交]]する。

== 証明 ==
四角形 {{Mvar|ABCD}} に対して，[[頂点]] {{Mvar|A}} を原点 {{Mvar|O}} とする。ベクトル {{Mvar|AB}} を[[複素数]] {{Math|2''a''}} に、ベクトル {{Mvar|BC}} を複素数 {{Math|2''b''}} に、ベクトル {{Mvar|CD}} を複素数 {{Math|2''c''}} に、ベクトル {{Mvar|DA}} を複素数 {{Math|2''d''}} に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル {{Mvar|AP}} を複素数 {{Mvar|p}} に、ベクトル {{Mvar|AQ}} を複素数 {{Mvar|q}} に、ベクトル {{Mvar|AR}} を複素数 {{Mvar|r}} に、ベクトル {{Mvar|AS}} を複素数 {{Mvar|s}} に対応させる。四角形 {{Mvar|ABCD}} は閉じているから、ベクトルを計算すると

: <math>2a+2b+2c+2d=0</math>

つまり、
: <math>a+b+c+d=0</math>

となる。この条件で証明することになる。 点 {{Mvar|P}} は点 {{Mvar|A}} から点 {{Mvar|B}} に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 {{Mvar|p}} は、
: <math>p=a+ia=(1+i)a</math>

となる。ここに、{{Mvar|i}} は[[虚数単位]]で、{{Math|1=''i''² = -1}} である。複素数は極形式 {{Math|(''r'', ''θ'')}} でも表現され、 
: <math>i=\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2}=\exp\left(\frac{\pi}{2}i\right)</math>

であるから、{{Mvar|a}} に {{Mvar|i}} をかけるということは半径 {{Math|1=''r'' = 1}}、偏角 {{Math|''π''/2}} の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。 

同様にして、複素数 {{Mvar|q,r,s}} は次のようになる。 
: <math>q=2a+(1+i)b</math>
: <math>r=2a+2b+(1+i)c</math>
: <math>s=2a+2b+2c+(1+i)d</math>

点 {{Mvar|Q}} から点 {{Mvar|S}} に向かうベクトルを {{Mvar|A}} 、点 {{Mvar|P}} から点 {{Mvar|R}} に向かうベクトルを {{Mvar|B}} とすると，{{Mvar|A}} は {{Math|''s'' - ''q''}} ，{{Mvar|B}} は {{Math|''r'' - ''p''}} であるから、
: <math>A=s-q=(b+2c+d)+i(d-b)</math>
: <math>B=r-p=(a+2b+c)+i(c-a)</math>

となる。証明すべきは、線分 {{Mvar|QS}} と線分 {{Mvar|PR}} の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 {{Mvar|A}} と {{Mvar|B}} の関係が、 
: <math>B=iA</math>

を満たすことである。または、この式の両辺に {{Mvar|i}} をかけて整理すると、
: <math>A+iB=0</math>

となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、
: <math>A+iB</math>
: <math>=(b+2c+d-c+a)+i(d-b+a+2b+c)</math>
: <math>=(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0</math>

となる。

なお、[[フィンスラー・ハドヴィッガーの定理]]を用いた証明もある。

== 性質 ==
*四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は[[共円]]である<ref name="Pellegrinetti">D. Pellegrinetti: [https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2021/02/TheSixPointCircleForTheQuadrangleReview.pdf "The Six-Point Circle for the Quadrangle"]. ''International Journal of Geometry'', Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp. 5–13.</ref>。

== 一般化 ==
[[ダオ・タイン・オアイ]]（Dao Thanh Oai）は、[[ヤコビの定理 (幾何学)|ヤコビの定理]]のような形で、直交性を拡張した<ref>{{Cite journal|journal=IJCDM|author=Dao Thanh Oai|year=2016|title=Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems|issue=3|url=https://journal-1.eu/2016-3/Dao-Thanh-Oai-Generalizations-pp.12-20.pdf}}</ref>。
: 任意の四角形{{Mvar|ABCD}}について、{{Math|1= ∠''A'AB'' = ∠''A'BA'', ∠''B'BC'' = ∠''B'CB'', ∠''C'CD'' = ∠''C'DC'', ∠''D'DA'' = ∠''D'AD''}}となるように点{{Mvar|A', B', C', D'}}を配置したとき、{{Math|''A'C' ''⊥ ''B'D' ''}}が成立する。

[[Mathematical Gazette]]では、[[ひし形]]や[[平行四辺形]]への拡張も示されている<ref name="de Villiers">M. de Villiers: [http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/aubel2.pdf "Dual Generalizations of Van Aubel's theorem"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210125105016/http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/aubel2.pdf |date=2021-01-25 }}. ''The Mathematical Gazette'',  Vol. 82 (Nov., 1998), pp. 405-412.</ref><ref name="Silvester">J. R. Silvester: [http://dynamicmathematicslearning.com/Silvester-van-aubel.pdf "Extensions of a Theorem of Van Aubel"]. ''The Mathematical Gazette'', Vol. 90 (Mar., 2006), pp. 2-12.</ref>。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[西山豊]] {{PDFlink|「[http://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/math2010j/aubel_j.pdf 美しい定理]」}}『理系への数学』2009年11月　- 定理の概要-証明

== 関連項目 ==
* [[ペトル=ダグラス=ノイマンの定理|ペトル–ダグラス–ノイマンの定理]]
* [[テボーの定理]]
* [[ナポレオンの定理]]
* [[ボッテマの定理]]
* [[ベクタン点]]
* {{仮リンク|ノイベルクの定理|fr|Théorème de Neuberg}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=van Aubel's Theorem|urlname=vanAubelsTheorem}}

{{DEFAULTSORT:うあんおおへるのていり}}
[[Category:四角形に関する定理]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]