ヴァン・ラモン円のソースを表示

[[ファイル:Van_Lamoen_circle.svg|右|サムネイル|400x400ピクセル|ヴァン・ラモン円、6つの円の中心<math>A_b</math>, <math>A_c</math>, <math> B_c</math>, <math>B_a</math>, <math>C_a</math>, <math>C_b</math>を通る。]]
[[ユークリッド幾何学]]において、'''ヴァン・ラモン円'''（ヴァン・ラモンえん、''[[英語|英]]:van Lamoen circle''）または'''ヴァン・ラモーエン円'''、'''ヴァン・ラムーン円'''は、[[三角形]]に対して定義される[[円 (数学)|円]]の一つである<ref>{{Cite web |title=van Lamoen Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/vanLamoenCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-13 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。 

<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> を三角形の頂点、<math>M_a</math>,<math>M_b</math>,<math>M_c</math>を<math>BC</math>,<math>CA</math>,<math>AB</math>の中点、<math>G</math>を[[幾何中心|重心]]とする。

6つの円<math>AGM_c</math>, <math>BGM_c</math>, <math> BGM_a</math>, <math>CGM_a</math>, <math>CGM_b</math>, <math>AGM_b</math>の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円と言う。

== 歴史 ==
ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起した {{仮リンク|フロアー・ヴァン・ラモン|nl|Floor van Lamoen}} に由来する<ref>{{Cite web |url=https://www.math.hkust.edu.hk/excalibur/v6_n1.pdf |title=Concyclic Problems |access-date=2024/4/13 |publisher=Kin Y. Li}}</ref>。2001年と2002年にそれぞれ、 [[Kin Y. Li]]とthe Amer. Math. Monthlyの編集者が、独自に証明した。

== 性質 ==
ヴァン・ラモン円の中心は[[クラーク・キンバリング]]の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」内で、 <math>X(1153)</math> として登録されており、[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2 X(1153) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart2.html#X1153 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-13}}</ref>。

<math>f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)</math>

ただし

<math>f(a,b,c)=bc(13a^2(b^2 + c^2) + 10b^2c^2 - 10a^4 - 4b^4 - 4c^4)</math>

2003年、[[Alexey Myakishev]] と[[Peter Y. Woo]]は以下の定理を発表した。

<math>P</math>が[[垂心]]か重心であることと、<math>P</math>の[[チェバ線]]を<math>AA'</math>, <math>BB'</math>,  <math>CC'</math> として6つの円<math>APB'</math>, <math>APC'</math>, <math>BPC'</math>, <math> BPA'</math>, <math>CPA'</math>, <math>CPB'</math>の中心が同一円周上にあることは同値である<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200305.pdf |title=On the Circumcenters of Cevasix Configurations |access-date=2024/4/13 |publisher=Alexei Myakishev and Peter Y. Woo}}</ref>。

2005年、[[Nguyen Minh Ha]]はこの定理のより単純な証明を与えた<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200516.pdf |title=Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse |access-date=2024/4/13 |publisher=Nguyen Minh Ha}}</ref>。

== 関連 ==
* [[パリー点|パリー円]]
* [[レスターの定理|レスター円]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:うあんらもんえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]