ヴァン・ラモン円

ヴァン・ラモン円、6つの円の中心$A_b$, $A_c$, $B_c$, $B_a$, $C_a$, $C_b$を通る。

ユークリッド幾何学において、ヴァン・ラモン円（ヴァン・ラモンえん、英:van Lamoen circle）またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円は、三角形に対して定義される円の一つである。

$A$, $B$, $C$ を三角形の頂点、$M_a$,$M_b$,$M_c$を$BC$,$CA$,$AB$の中点、$G$を重心とする。

6つの円$AG{M}_c$, $BG{M}_c$, $BG{M}_a$, $CG{M}_a$, $CG{M}_b$, $AG{M}_b$の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円と言う。

歴史

ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起した テンプレート:仮リンク に由来する。2001年と2002年にそれぞれ、 Kin Y. Liとthe Amer. Math. Monthlyの編集者が、独自に証明した。

性質

ヴァン・ラモン円の中心はクラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」内で、 $X(1153)$ として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる。

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

ただし

$f(a,b,c)=bc(13a^2(b^2+c^2)+10b^2{c}^2-10a^4-4b^4-4c^4)$

2003年、Alexey Myakishev とPeter Y. Wooは以下の定理を発表した。

$P$が垂心か重心であることと、$P$のチェバ線を$A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ として6つの円$AP{B}^{\prime }$, $AP{C}^{\prime }$, $BP{C}^{\prime }$, $BP{A}^{\prime }$, $CP{A}^{\prime }$, $CP{B}^{\prime }$の中心が同一円周上にあることは同値である。

2005年、Nguyen Minh Haはこの定理のより単純な証明を与えた。

関連

• パリー円
• レスター円