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{{要改訳}}
代数幾何学において、'''ヴェイユコホモロジー''' (Weil cohomology) あるいは '''ヴェイユコホモロジー論''' (Weil cohomology theory) とは、[[代数的サイクル]]とコホモロジー群の関係性についてのある公理系を満たす[[コホモロジー]]のことを言う。名前は[[アンドレ・ヴェイユ]] (André Weil) にちなむ。[[モチーフ (代数幾何学)|周モチーフ]]を通してヴェィユコホモロジーが分解するという意味で、周モチーフの[[圏 (数学)|圏]]が普遍ヴェイユコホモロジー論である限りは、ヴェィユコホモロジー論が[[モチーフ (代数幾何学)|モチーフ]]の理論で重要な役割を演じる。しかしながら、周モチーフの圏は[[アーベル圏]]ではないので、ヴェィユコホモロジー論をもたらさないことにも注意する必要がある。
<!--In [[algebraic geometry]], a '''Weil cohomology''' or '''Weil cohomology theory''' is a [[cohomology]] satisfying certain axioms concerning the interplay of [[algebraic cycles]] and cohomology groups. The name is in honor of [[André Weil]]. Weil cohomology theories play an important role in the theory of [[motive (algebraic geometry)|motives]], insofar as the [[category (mathematics)|category]] of  [[Chow motive]]s is a universal Weil cohomology theory in the sense that any Weil cohomology function factors through Chow motives. Note that, however, the category of Chow motives does not give a Weil cohomology theory since it is not [[abelian category|abelian]].-->

==定義==
'''ヴェイユコホモロジー'''(Weil cohomology)は、[[函手#反変関手|反変函手]]
::::''H''<sup>*</sup>: {体 ''k'' 上の滑らかな射影[[代数多様体]]} → {次数付き ''K''-代数}
で、以下の公理に従う。体 ''K'' は ''k'' とは異なっているので混乱しないでほしい。体 ''K'' は標数 0 であり、'''係数体'''と言われるのに対し、'''基礎体''' ''k'' は任意である。''X'' を次元 ''n'' の滑らかな[[射影多様体|射影代数多様体]]とすると、[[次数付き代数|次数付き]] '''{{仮リンク|K-代数|en|K-algebra}}'''(K-algebra) <math>H^*(X)=\oplus H^i(X)</math> は次の条件を満たす。
<!--==Definition==
A ''Weil cohomology theory'' is a [[functor#Covariance and contravariance|contravariant functor]]:

::::''H<sup>*</sup>'': {smooth projective [[algebraic variety|varieties]] over a field ''k''} → {graded ''K''-algebras}

subject to the axioms below. Note that the field ''K'' is not to be confused with ''k''; the former is a field of characteristic zero, called the ''coefficient field'', whereas the base field ''k'' can be arbitrary. Suppose ''X'' is a smooth [[projective variety|projective algebraic variety]] of dimension ''n'', then the [[graded algebra|graded]] ''[[K-algebra]]'' ''H<sup>*</sup>(X)'' = ⊕''H<sup>i</sup>(X)'' is subject to the following:-->

#<math>H^i(X)</math> は有限次元の ''K''-[[ベクトル空間]]である。
#<math>H^i(X)</math> は、''i'' < 0 および ''i'' > 2''n'' に対し 0 となる。
#<math>H^{2n}(X)</math> は ''K'' に同型である（いわゆる向き付け写像）
#[[ポアンカレ双対性]]、つまり、非退化なペアリング <math>H^i(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K</math> が存在する。
#標準的な{{仮リンク|キュネット定理|label=キュネット|en|Künneth theorem}}(Künneth)同型写像： <math>H^*(X)\otimes H^*(Y)\to H^*(X\times Y)</math> が存在する。
#'''サイクル写像'''(cycle-map)： <math>\gamma_X\colon Z^i(X)\to H^{2i}(X)</math> の存在。ここに前者の群は余次元 ''i'' の代数的サイクルを意味し、函手 ''H'' に関してある整合性条件、キュネット同型と点 ''X'' に対しサイクル写像が包含写像 '''Z''' ⊂ ''K'' であること。<!--原文の構造がよくわからない．functoriality ではなく functionality．-->
#'''弱レフシェッツ公理''' (weak Lefschetz axiom)： 任意の滑らかな{{仮リンク|超平面切断|en|hyperplane section}}(hyperplane section) ''j'': ''W'' ⊂ ''X'' (つまり、''W'' = ''X'' ∩ ''H''、''H'' は周りの射影空間の中のある超平面) に対し、写像 <math>j^*\colon H^i(X)\to H^i(W)</math> は {{math|''i'' &ge; ''n'' &minus; 2}} に対し同型であり、{{math|''i'' &le; ''n'' &minus; 1}} に対し単射である。
#'''強レフシェッツ公理''' (hard Lefschetz axiom)： 再び ''W'' を超平面切断とし、<math>w=\gamma_X(W)\in H^2(X)</math> をサイクル類写像による像とする。'''レフシェッツ作用素''' (Lefschetz operator) <math>L\colon H^i(X)\to H^{i+2}(X)</math> は ''x'' を ''x''・''w'' へ写像する（ドットは代数 ''H''<sup>*</sup>(''X'') での積を表す）。公理は、<math>L^i\colon H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)</math> が {{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''n''}} に対し同型写像であるというものである。
<!--#''H<sup>i</sup>(X)'' are finite-dimensional ''K''-[[vector space]]s.
#''H<sup>i</sup>(X)'' vanish for ''i < 0''  or ''i > 2n''.
#''H<sup>2n</sup>(X)'' is isomorphic to ''K'' (so-called orientation map).
#There is a [[Poincaré duality]], i.e. a non-degenerate pairing: ''H<sup>i</sup>(X)'' × ''H<sup>2n−i</sup>(X) → H<sup>2n</sup>(X) ≅ K''.
#There is a canonical [[Künneth theorem|Künneth]] isomorphism: ''H<sup>*</sup>(X)'' ⊗ ''H<sup>*</sup>(Y)'' → ''H<sup>*</sup>(X × Y)''.
#There is a ''cycle-map'': γ<sub>''X''</sub>: ''Z<sup>i</sup>(X)'' → ''H<sup>2i</sup>(X)'', where the former group means algebraic cycles of codimension ''i'', satisfying certain compatibility conditions with respect to functionality of ''H'', the Künneth isomorphism and such that for ''X'' a point, the cycle map is the inclusion '''Z''' ⊂ ''K''.
#''Weak Lefschetz axiom'': For any smooth [[hyperplane section]] ''j: W ⊂ X'' (i.e. ''W = X ∩ H'', ''H'' some hyperplane in the ambient projective space), the maps ''j<sup>*</sup>: H<sup>i</sup>(X)'' → ''H<sup>i</sup>(W)'' are isomorphisms for ''i ≤ n-2'' and a monomorphism for ''i ≤ n-1''.
#''Hard Lefschetz axiom'': Again let ''W'' be a hyperplane section and ''w'' = γ<sub>''X''</sub>(''W'') ∈ ''H''<sup>2</sup>''(X)''be its image under the cycle class map. The ''Lefschetz operator'' ''L: H<sup>i</sup>(X)'' → ''H<sup>i+2</sup>(X)'' maps ''x'' to ''x·w'' (the dot denotes the product in the algebra ''H<sup>*</sup>(X)''). The axiom states that ''L<sup>i</sup>: H<sup>n−i</sup>(X) → H<sup>n+i</sup>(X)'' is an isomorphism for ''i=1, ..., n''.-->

==例==
4つの古典的ヴェイユコホモロジー論がある。
* '''C''' 上の多様体を[[解析的位相]]（[[代数幾何学と解析幾何学#GAGA|GAGA]]参照）を用いて位相空間と見なしたときの[[特異コホモロジー]]（ベッチコホモロジーともいう）
*[[標数]] 0 の基礎体上の[[ド・ラームコホモロジー]]： '''C''' 上で[[微分形式]]により定義、一般には、ケーラー微分の複体による（参照、{{仮リンク|クリスタリンコホモロジー|label=代数的ド・ラームコホモロジー|en|algebraic de Rham cohomology}}(algebraic de Rham cohomology)）
*標数が ''l'' でない体上の多様体の [[l-進コホモロジー|''l''-進コホモロジー]]
*{{仮リンク|クリスタルコホモロジー|en|crystalline cohomology}}(crystalline cohomology)

ベッチコホモロジーとド・ラームコホモロジーの場合の公理の証明は、比較的容易で古典的であるのに対し、''l''-進コホモロジーの上記の性質は深い定理となっている。
<!---==Examples==
There are four so-called classical Weil cohomology theories:
*[[Betti cohomology|singular (=Betti) cohomology]], regarding varieties over '''C''' as topological spaces using their [[analytic topology]] (see [[GAGA]])
*[[de Rham cohomology]] over a base field of [[characteristic (algebra)|characteristic]] zero: over '''C''' defined by [[differential forms]] and in general by means of the complex of Kähler differentials (see [[algebraic de Rham cohomology]])
*[[etale cohomology|l-adic cohomology]] for varieties over fields of characteristic different from ''l''
*[[crystalline cohomology]]

The proofs of the axioms in the case of Betti and de Rham cohomology are comparatively easy and classical, whereas for ''l''-adic cohomology, for example, most of the above properties are deep theorems.-->

複素次元が ''n'' の（複素）多様体は実次元が 2''n'' であるという事実より、ベッチコホモロジー群の次数が次元の 2 倍を超えると 0 となることは明らかであるので、これらの高次コホモロジー群は消える（例えば{{仮リンク|単体ホモロジー|label=単体（コ）ホモロジー|en|simplicial homology}}(simplicial (co)homology)と比較することによって）。サイクル写像についても理解し易い説明がある。複素次元 ''n'' の（コンパクト）多様体 ''X'' の任意の（複素） ''i'' 次元の部分多様体が与えられると、この部分多様体にそって (2''n''−''i'')-形式を積分することができる。[[ポアンカレ双対]]の古典的なステートメントは、これが非退化なペアリングを与えることである。
::<math>H_i (X) \otimes H_{\text{dR}}^{2n-i}(X) \rightarrow \mathbf{C}</math>
したがって（ド・ラームコホモロジーとベッチコホモロジーとの比較を通して）同型
::<math>H_i (X) \cong H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)^{\vee} \cong H^i(X)</math>
を得る。
<!---The vanishing of Betti cohomology groups exceeding twice the dimension is clear from the fact that a (complex) manifold of complex dimension ''n'' has real dimension ''2n'', so these higher cohomology groups vanish  (for example by comparing them to [[simplicial homology|simplicial (co)homology]]). The cycle map also has a down-to-earth explanation: given any (complex-)''i''-dimensional sub-variety of (the compact manifold) ''X'' of complex dimension ''n'', one can integrate a differential (''2n−i'')-form along this sub-variety. The classical statement of [[Poincaré duality]] is, that this gives a non-degenerate pairing:
::<math>H_i (X) \otimes H_{\text{dR}}^{2n-i}(X) \rightarrow \mathbf{C}</math>,
thus (via the comparison of de Rham cohomology and Betti cohomology) an isomorphism: 
::<math>H_i (X) \cong H_{\text{dR}}^{2n-i}(X)^{\vee} \cong H^i(X).</math>-->

==参考文献==
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | last2=Harris | first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | publisher=Wiley | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | id={{MathSciNet | id = 1288523}} | year=1994}} (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
* {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980}} (idem for ''l''-adic cohomology)
* {{Citation | last1=Kleiman | first1=S. L. | title=Dix exposés sur la cohomologie des schémas | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | id={{MathSciNet | id = 0292838}} | year=1968 | chapter=Algebraic cycles and the Weil conjectures | pages=359–386}}

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[[Category:代数幾何学の位相的方法]]
[[Category:コホモロジー論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]