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{{distinguish|ヴェイユ群}} [[数論幾何学]]の{{読み仮名_ruby不使用|'''ヴェイユ・シャトレ群'''|ヴェイユ・シャトレぐん|{{lang-en-short|Weil–Châtelet group}}}}、または'''WC群'''（WC-group）とは、[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上定義された[[アーベル多様体]] {{mvar|A}} をはじめとする[[代数群]]に対して定義される群で、{{mvar|K}} 上定義された {{mvar|A}} についての{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}がなす[[アーベル群]]のことである。[[楕円曲線]]に対してこれを導入した {{harvtxt|Châtelet|1946}} と一般の場合にこれを導入した {{harvtxt|Weil|1955}} にちなみ {{harvtxt|Tate|1958}} が名付けた。[[無限降下法]]と関連するので、[[アーベル多様体の数論]]、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。 これは {{mvar|K}} の[[絶対ガロア群]] <math>G_K</math> の[[ガロアコホモロジー]] <math>H^1(G_K,A)</math> として直接定義できる。[[代数体]]などの[[大域体]]と[[局所体]]の場合が特に関心を持たれている。{{mvar|K}} が[[有限体]]のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることが {{harvtxt|Schmidt|1931}} で証明され、任意の連結代数群について自明になることが {{harvtxt|Lang|1956}} で証明されている。 ==関連項目== 代数体 {{mvar|K}} 上定義されたアーベル多様体 {{mvar|A}} の[[テイト・シャファレヴィッチ群]]は、ヴェイユ・シャトレ群の元で {{mvar|K}} のすべての完備化で自明になるもの全体である。 [[エルンスト・セルマー]]にちなむ、{{mvar|A}} のアーベル多様体の[[同種_(数学)|同種]] <math>f\colon A\to B</math> についての[[セルマー群]]も関係する群である。これはガロアコホモロジーを使って :<math>\mathrm{Sel}^{(f)}(A/K)=\bigcap_v\mathrm{ker}(H^1(G_K,\mathrm{ker}(f))\rightarrow H^1(G_{K_v},A_v[f])/\mathrm{im}(\kappa_v))</math> と定義できる。ここで {{math|''A''<sub>''v''</sub>[ ''f'' ]}} は {{math|''A''<sub>''v''</sub>}} の {{math|''f''}} [[捩れ_(代数学)|ねじれ]]で、<math>\kappa_v</math> は局所クンマー写像 :<math>B_v(K_v)/f(A_v(K_v))\rightarrow H^1(G_{K_v},A_v[f])</math> である。 == 参考文献 == *{{Citation | last1=Cassels | first1=John William Scott | title=Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups | doi=10.1112/plms/s3-12.1.259 |mr=0163913 | year=1962 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society |series=Third Series | issn=0024-6115 | volume=12 | pages=259–296}} *{{Citation | last1=Cassels | first1=John William Scott | title=Lectures on elliptic curves | url=https://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-41517-0 |mr=1144763 | year=1991 | volume=24 | doi=10.1017/CBO9781139172530}} *{{Citation | last1=Châtelet | first1=François | title=Méthode galoisienne et courbes de genre un |mr=0020575 | year=1946 | journal=Annales de l'Université de Lyon Sect. A. (3) | volume=9 | pages=40–49}} * {{Citation | last2=Silverman | first2=Joseph H. | author2-link=Joseph H. Silverman | last1=Hindry | first1=Marc | author1-link=Marc Hindry | title=Diophantine geometry: an introduction | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98981-5 | year=2000 | volume=201}} * {{Citation | last1=Greenberg | first1=Ralph | author1-link=Ralph Greenberg | editor1-last=Serre | editor1-first=Jean-Pierre | editor1-link=Jean-Pierre Serre | editor2-last=Jannsen | editor2-first=Uwe | editor3-last=Kleiman | editor3-first=Steven L. | title=Motives | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1637-0 | year=1994 | chapter=Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives}} * {{springer|title=Weil-Châtelet group|id=p/w097590}} * {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Algebraic groups over finite fields | jstor=2372673 |mr=0086367 | year=1956 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=78 | issue=3 | pages=555–563 | doi=10.2307/2372673}} * {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | last2=Tate | first2=John | author2-link=John Tate (mathematician) | title=Principal homogeneous spaces over abelian varieties | jstor=2372778 |mr=0106226 | year=1958 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=80 | issue=3 | pages=659–684 | doi=10.2307/2372778}} * {{Citation | last=Schmidt | first=Friedrich Karl |authorlink=Friedrich Karl Schmidt| title=Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p | doi=10.1007/BF01174341 | year=1931 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=33 | pages=1–32}} * {{Citation | last=Shafarevich | first=Igor R. | authorlink=Igor Shafarevich| title=The group of principal homogeneous algebraic manifolds | language=Russian |mr=0106227| year=1959 | journal=Doklady Akademii Nauk SSSR | issn=0002-3264 | volume=124 | pages=42–43}} English translation in his collected mathematical papers. * {{Citation | last1=Tate | first1=John | author1-link=John Tate (mathematician) | title=WC-groups over p-adic fields | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0 | publisher=Secrétariat Mathématique | location=Paris | series=Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958 |mr=0105420 | year=1958 | volume=13}} * {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link=André Weil | title=On algebraic groups and homogeneous spaces | jstor=2372637 |mr=0074084 | year=1955 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=77 | issue=3 | pages=493–512 | doi=10.2307/2372637}} [[Category:数論]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]] {{デフォルトソート:うえいゆしやとれくん}}
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