ヴェイユ・シャトレ群

テンプレート:Distinguish 数論幾何学のテンプレート:読み仮名 ruby不使用、またはWC群（WC-group）とは、体 テンプレート:Mvar 上定義されたアーベル多様体 テンプレート:Mvar をはじめとする代数群に対して定義される群で、テンプレート:Mvar 上定義された テンプレート:Mvar についてのテンプレート:仮リンクがなすアーベル群のことである。楕円曲線に対してこれを導入した テンプレート:Harvtxt と一般の場合にこれを導入した テンプレート:Harvtxt にちなみ テンプレート:Harvtxt が名付けた。無限降下法と関連するので、アーベル多様体の数論、特に楕円曲線の数論において基本的な役割をはたす。

これは テンプレート:Mvar の絶対ガロア群 $G_K$ のガロアコホモロジー $H^1(G_K,A)$ として直接定義できる。代数体などの大域体と局所体の場合が特に関心を持たれている。テンプレート:Mvar が有限体のときは、楕円曲線についてのヴェイユ・シャトレ群が自明になることが テンプレート:Harvtxt で証明され、任意の連結代数群について自明になることが テンプレート:Harvtxt で証明されている。

関連項目

代数体 テンプレート:Mvar 上定義されたアーベル多様体 テンプレート:Mvar のテイト・シャファレヴィッチ群は、ヴェイユ・シャトレ群の元で テンプレート:Mvar のすべての完備化で自明になるもの全体である。

エルンスト・セルマーにちなむ、テンプレート:Mvar のアーベル多様体の同種 $f:A\to B$ についてのセルマー群も関係する群である。これはガロアコホモロジーを使って

${\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{l}}^{(f)}(A/K)=\bigcap _v\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(H^1(G_K,\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f))\to H^1(G_{K_v},A_v[f])/\mathrm{i}\mathrm{m}({\kappa }_v))$

と定義できる。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math の テンプレート:Math ねじれで、${\kappa }_v$ は局所クンマー写像

$B_v(K_v)/f(A_v(K_v))\to H^1(G_{K_v},A_v[f])$

である。

参考文献

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• テンプレート:Springer
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• テンプレート:Citation English translation in his collected mathematical papers.
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