テイト・シャファレヴィッチ群

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数論幾何学のテンプレート:読み仮名 ruby不使用とは、代数体 テンプレート:Math 上定義されたアーベル多様体 テンプレート:Math（もしくはもっと一般のテンプレート:仮リンク）に対して定まる群 テンプレート:Math のことである。これはヴェイユ・シャトレ群 テンプレート:Math の元で テンプレート:Math のすべての完備化（テンプレート:Math から得られる [[p進数|テンプレート:Mvar 進体]]と実または複素の完備化）において自明となるものの集まりとして定義される。これは、ガロアコホモロジーを使うと

⋂vker(H1(GK,A)→H1(GKv,Av))

と書くことができる。この群はサージ・ラングとジョン・テイトテンプレート:Sfnとイゴール・シャファレヴィッチテンプレート:Sfnによって考え出された。キリル文字のШ（シャファレヴィッチのシャー）を使う テンプレート:Math という表記はテンプレート:仮リンクによりはじめられた。それまでは テンプレート:Math という記号が使われていた。

テイト・シャファレヴィッチ群の元

幾何学的には、テイト・シャファレヴィッチ群の自明でない元は、テンプレート:Math のすべての素点 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math 有理点を持つが、しかし テンプレート:Math 有理点は持たない テンプレート:Math の等質空間と考えることができる。したがってこの群は体 テンプレート:Math を係数とする有理方程式についてハッセの原理がどのくらい成り立たないかを測っている。テンプレート:Harvtxt は、種数1の曲線 テンプレート:Math は有理点を持たないが実数体とすべての テンプレート:Math 進体について解を持つことを示すことにより、このような等質空間の例を与えた。テンプレート:Harvtxt は テンプレート:Math などたくさんの例を与えた。

特別な場合であるアーベル多様体のある与えられた有限位数 テンプレート:Math を持つ点からなる有限群スキームについてのテイト・シャファレヴィッチ群はセルマー群と密接に関係している。

テイト・シャファレヴィッチ予想

テイト・シャファレヴィッチ予想とは、テイト・シャファレヴィッチ群は有限であろうという予想である。カール・ルービンは虚数乗法を持ち階数が1以下のある楕円曲線についてこれを証明したテンプレート:Sfn。ヴィクター・コリヴァギンはこれを解析的階数が1以下の有理数体上のモジュラーな楕円曲線に拡張した（後に証明されたモジュラー性定理により、モジュラー性の仮定は常に満たされる）テンプレート:Sfn。

キャッセルズ・テイト対

キャッセルズ・テイト対（Cassels–Tate pairing）はアーベル多様体 テンプレート:Math とその双対 テンプレート:Math に対して定義されるテンプレート:仮リンク テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。キャッセルズはこれを楕円曲線の場合に導入したテンプレート:Sfn。この場合、テンプレート:Math と テンプレート:Math は同一視できるので、この対は交代形式である。この形式の核は可除な元のなす部分群であり、テイト・シャファレヴィッチ予想が正しければこれは自明な群である。テイトはこの対をテンプレート:仮リンクの変形版として一般のアーベル多様体に拡張したテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar の偏極を選ぶと テンプレート:Math から テンプレート:Math への写像が定まり、これが テンプレート:Math に値を持つ テンプレート:Math 上の双線型対を誘導する。楕円曲線の場合と異なり、これは交代的とは限らず歪対称でもないかもしれない。

キャッセルズは楕円曲線の場合にこのペアリングは交代的であることを示した。これから、テンプレート:Math の位数が有限であればそれは平方数であることがわかる。一般のアーベル多様体について、テンプレート:Math の位数が有限であればそれは平方数だろうと何年ものあいだ誤って信じられてきた。これは テンプレート:Harvtxt の結果の1つの引用の仕方を誤った テンプレート:Harvtxt に端を発する。プーネン（Poonen）とシュトール（Stoll）は位数が平方数の2倍である例をいくつか与えた。有理数体上の種数が2のある曲線のヤコビ多様体でそのテイト・シャファレヴィッチ群の位数が2であるようなものなどであるテンプレート:Sfn。スタインは位数を割り切る奇素数の冪指数が奇数となる例を与えたテンプレート:Sfn。アーベル多様体が主偏極を持てば テンプレート:Math 上のこの形式は歪対称である。これは テンプレート:Math の位数は（有限ならば）平方数または平方数の2倍であることを意味する。さらに、主偏極が（楕円曲線の場合のように）有理因子からきている場合には、この形式は交代的であり、テンプレート:Math の位数は（有限ならば）平方数である。

関連項目

脚注

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参考文献

日本語の文献

外国語の文献

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